2016考研线性代数：解析行列式

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　　在考试中，直接考查行列式的题目比较少，多是以间接方式考查。
　　一、 知识点回顾
　　1.行列式本身知识点
　　(1) 概念
　　对行列式的概念，考生应注意两点：行列式是一个数;这个数是“不同行、不同列、n项乘积的代数和”。
　　(2) 性质
　　对于行列式的性质，考生应明白，这些性质是用来对行列式变形的，利用行列式的性质，可以将行列式变形成理想的形式，比如三角行列式。
　　(3) 展开定理
　　展开定理的作用是降阶，可以将原来的n阶行列式展开成若干个n-1阶行列式。
　　2.行列式的应用
　　行列式跟后续很多章节都有联系。比如：矩阵A可逆 。
　　二、 常见题型总结
　　1、数值型行列式的计算
　　(1)低阶列式(三阶或四阶)
　　计算思路：展开定理、拉普拉斯展开定理、利用范德蒙行列式。
　　其中，展开定理，适用于每行(列)最多有两个非零元的情形，当非零元多于两个时，可以先利用行列式的性质，对其变形。口诀：“找1、化0、展开”。
　　拉普拉斯展开定理适用于：0比较多，但是排布比较复杂，可以先利用行列式的性质将0集中，然后再利用拉普拉斯展开定理展开。
　　范德蒙行列式适用于：各行或各列成等比的情况。但是，在使用范德蒙行列式时，需要先将所给行列式化成标准形式：第一行或者第一列的元素全为1。
　　(2)高阶行列式的计算(n阶)
　　计算思路：三角化、展开定理。
　　其中，可以使用三角化的题型有两种：爪型行列式与对角线型行列式。
　　对于爪型行列式，直接进行三角化;对角线型行列式，可以先化成爪型，再进行三角化。
　　除此之外，我们还总结出，计算n阶行列式的一个基本思想：化0。对于n阶行列式，大的方向就是利用行列式的性质变形，使得行列式中出现很多0，当0比较多时，再进行计算，就容易多了。
　　展开定理，当n阶行列式，某一行(列)最多有两个非零元时，可以按照这一行(列)展开，展开定理有两个作用：一、通过展开定理可以将行列式简化;二、可以得到递推公式。特别是，对三线型行列式，可以通过展开定理展开，得到一个递推公式。
　　2、抽象型行列式的计算
　　抽象型行列式计算题型有三种：
　　1)矩阵按列分块
　　计算思路有两个：一、利用行列式的性质;二、分解成两个矩阵相乘的形式。
　　当矩阵按列分块，且每一列有两个或两个以上的向量组成时，可以先用行列式的性质对其变形，将其变成每一列只含一个向量的形式;
　　或者，可以利用矩阵的乘法，将其分解成两个矩阵相乘的形式，再利用公式 。
　　注意：第二种方法在使用时必须保证分解后的矩阵均为方阵才可以，因为，只有方阵才可以求行列式。
　　2)矩阵方程
　　计算思路：提公因式，同取行列式。
　　比如，求矩阵A的行列式，就首先把A作为一个公因式，提取出来，再在方程两边同取行列式即可。
　　3)两矩阵和的行列式
　　有两种计算思路：a、合并;b、利用单位矩阵变形。
　　因为两矩阵和的行列式是没有公式的，当这两个矩阵有关联时，可以将其合并成一项，求行列式;当两个矩阵之间无关联时，可利用单位矩阵变形，令其中一个矩阵左乘或右乘一个单位矩阵 ，再将 写成某一个矩阵与其逆矩阵乘积。
　　4)利用特征值
　　矩阵的行列式等于矩阵所有的特征值之积。　　
—— (本文作者为中公考研数学指导老师—曹严梅)