2016考研同济五版《线性代数》习题解读（三）

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　　前面给大家推荐了中公考研总结的考研数学线代知识的完整框架，今天分享后续的内容，即线性代数习题的深度解读。
　　1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本运算的练习，实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟掌握。
　　2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵，实际上是考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应清楚了。要知道一个初等矩阵对应一个初等变换，其逆阵也是，从这个意义上去理解可以有效解决很多问题。
　　4、求矩阵的逆阵的第二种方法(第一种是伴随阵)，基本题，同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚(书上相应章节有解释)，即为什么可以通过这两种方法求逆阵。
　　5、6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了，选择自己习惯的做法即可。
　　7、考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩一定要搞清楚：是不为零的子式的最高阶数。所以秩为r的话只需要有一个不为零的r阶子式，但所有的r+1阶子式都为零;至于r-1阶子式，也是有可能为零的，但不可能所有的都为零，否则秩就是r-1而不是r了。
　　8、还是涉及矩阵的秩，矩阵减少一行，秩最多减1，也可能不减，不难理解，但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚。
　　9、主要考查矩阵的秩和行(列)向量组的秩的关系，实际上它们是一致的，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个简单问题：在找两个行向量，与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关，最后由于要求方阵，所以还要找一个向量，与前面四个向量组和在一起则线性相关，最容易想到的就是0向量了。
　　10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要信息，所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题。矩阵的初等行(列)变换都不会改变其秩，所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩。
　　11题是一个重要命题，经常可以直接拿来用，至于它本身的证明，可以从等价的定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到，而初等变换是不改变矩阵的秩的，所以等价则秩必相等。实际上11题因为太过常用，以至于我们常常认为秩相等才是等价的定义，不过既然是充分必要条件，这样理解也并无不可。
　　12、选取合适的参数值来确定矩阵的秩，方法不止一种，题目不难但比较典型。
　　13、14题是求解齐次、非齐次方程组的典型练习，务必熟练掌握。
　　15、线性方程组的逆问题，即已知解要求写出方程，把矩阵的系数看做未知数来反推即可，因为基础解系中自由未知量的个数和有效方程正好是对应的，个人感觉这类题不太重要。
　　16、17、18题是线性方程组的一类典型题，考研常见题型，讨论不同参数取值时解的情况，要熟练掌握这类题目。
　　19、证明本身不是很重要，重要的是由题目得到的启示：由一个向量及其转置(或一个列向量一个行向量)生成的矩阵其秩一定是1。这实际上也不难理解，矩阵的秩是1意味着每行(或每列)都对应成比例，即可以写成某一列向量乘行向量的形式，列向量的元素就是每行的比例系数，反过来也一样，这个大家可自行写一些具体的例子验证，加深印象。另外值得注意的是：列向量乘行向量生成的是矩阵，而行向量乘列向量生成的是数。
　　20、考察的是矩阵的运算对矩阵秩的影响，抓住R(AB)〈=min(R(A)，R(B))这个关键命题即可。或者从同解方程组角度出发，即要证明两个矩阵秩相等，可证其方程组同解。
　　21、注意A是否可逆未知，故不能用求逆的方法证明，这是易犯的错误之一。实际上该题考察的还是方程组只有零解的条件：满秩。关键一步在于把条件改写为A(X-Y)=0
　　前两章的习题以锻炼计算能力为主，从第三章开始理解层面的内容逐渐增多，很多概念要引起重视。