2016考研数学线性代数：矩阵的对角化问题

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　　在考研数学的各个卷种中，线性代数占22%，约34分，每年的考题里，线性代数稳定的考查2道选择题、1道填空题和2道解答题。以下是中公考研数学辅导老师就线性代数的矩阵的对角化问题进行解析。
　　如果一个n阶矩阵相似与一个对角矩阵,就说它可以对角化.
　　并不是每个矩阵都可以对角化的,于是我们的问题是:
　　(1)判断一个n阶矩阵A是否可对角化.
　　(2)如果可以,怎么构造可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵?
　　定理1 可逆矩阵U=(h1,h2,…,hn)使得U-1AU是对角矩阵,并且其对角线上的元素为l1,l2,…,lnÛ U的列向量h1,h2,…,hn都是A的特征向量,并且特征值依次为l1,l2,…,ln.
　　判别法则1 n阶矩阵A可对角化ÛA有n个线性无关的特征向量.
　　构造可逆矩阵U的方法 以An个线性无关的特征向量h1,h2,…,hn为列向量,构造矩阵U =(h1,h2,…,hn),则U-1AU是对角矩阵.
　　定理2 A的一组特征向量h1,h2,…,hs线性无关Ûh1,h2,…,hs的每个属于同一特征值的部分组都线性无关.
　　判别法则2 A可对角化Û对于A的每个特征值l,其重数=n-r(lE-A).
　　推论 如果A的特征值两两不相同,则A可以对角化.
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