2016考研数学线性代数：齐次线性方程组

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　　在考研数学的各个卷种中，线性代数占22%，约34分，每年的考题里，线性代数稳定的考查2道选择题、1道填空题和2道解答题。以下是中公考研数学辅导老师就线性代数的齐次线性方程组解析。
　　1. 线性方程组的形式
　　线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：
　　矩阵式 AX=b，(齐次方程组AX=0).
　　向量式 x1a1+x2a2+…+xsas= b， (齐次方程组x1a1+x2a2+…+xsas=0).
　　2. 线性方程组解的性质
　　(1) 齐次方程组AX=0
　　如果h1, h2,…,hs是齐次方程组AX=0的一组解,则它们的任何线性组合c1h1+ c2h2+¼ + cshs也都是解.
　　(2) 非齐次方程组AX=b
　　如果x1, x2,…,xs是AX=b的一组解,则
　　① 它们的线性组合c1x1+ c2x2+…+csxs也是AX=b解的Ûc1+ c2+…+cs=1.
　　② 它们的线性组合c1x1+ c2x2+…+csxs是AX=0的解Û c1+ c2+…+cs=0.
　　如果x0是AX=b的一个解,则n维向量(n是未知数的个数) x也是解Ûx-x0是导出齐次方程组AX=0的解.(也就是说, x是x0与导出组AX=0的一个解的和.)
　　3. 线性方程组解的情况的判别
　　对于方程组AX=b,判别其解的情况用三个数:未知数的个数n,r(A),r(A|b).
　　① 无解Ûr(A )
　　② 有唯一解Ûr(A )=r(A|b)=n.
　　(当A是方阵时,就推出克莱姆法则.)
　　③ 有无穷多解Ûr(A )=r(A|b)
　　方程的个数m虽然在判别公式中没有出现,但它是r(A)和r(A|b)的上界,因此
　　当r(A)=m时, AX=b一定有解.
　　当m
　　对于齐次方程组AX=0,判别解的情况用两个数: n,r(A).
　　有非零解Û r(A )=
　　推论1 当A 列满秩时, A 在矩阵乘法中有左消去律:
　　AB=0ÞB=0;AB=ACÞB=C.
　　证明 设B=(b1,b2,…,bt),则AB=0ÛAbi=0,i=1,2,…,s. Ûb1,b2,…,bt都是AX=0的解. 而A 列满秩, AX=0只有零解, bi=0,i=1,2,…,s,即B=0.
　　
　　推论2 如果A列满秩,则r(AB)=r(B).
　　证明 只用证明齐次方程组ABX=0和BX=0同解.(此时矩阵AB和B 的列向量组有相同的线性关系,从而秩相等.)
　　h是ABX=0的解ÛABh=0ÛBh=0(用推论1)Ûh是BX=0的解.
　　于是ABX=0和BX=0确实同解.
　　4. 齐次方程组的基础解系 线性方程组的通解
　　(1) 齐次方程组的基础解系
　　如果齐次方程组AX=0有非零解,则它的解集(全部解的集合)是无穷集,称解集的每个极大无关组为AX=0的基础解系.
　　于是, 当h1, h2,…,hs是AX=0的基础解系时:
　　向量h是AX=0的解Ûh可用h1, h2,…,hs线性表示.
　　定理 设AX=0有n个未知数,则它的基础解系中包含解的个数(即解集的秩)=n-r(A ).
　　于是,判别一组向量h1, h2,…,hs是AX=0的基础解系的条件为
　　① h1, h2,…,hs是AX=0的一组解.
　　② h1, h2,…,hs线性无关.
　　③ s=n-r(A ).
　　推论 如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)£n.
　　证 记B=(b1, b2,¼, bs),则Abi=0,i=1,2,¼ ,s,即每个bi都是齐次方程组AX=0的解,从而r(B)= r(b1, b2,¼, bs)£n-r(A),即r(A)+r(B)£n.
　　(2) 线性方程组的通解
　　如果h1, h2,…,hs是齐次方程组AX=0的基础解系,则AX=0的通解(一般解)为
　　c1h1+ c2h2+…+ cshs, 其中c1, c2,…,cs,可取任何常数.
　　如果x0是非齐次方程组AX=b的解, h1,h2,… ,hs是导出组AX=0的基础解系,则AX=b的通解(一般解)为
　　x0+c1h1+c2h2+…+cshs, 其中c1, c2,…,cs,可取任何常数.
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