2016考研数学线性代数：单位矩阵

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在考研数学的各个卷种中，线性代数占22%，约34分，每年的考题里，线性代数稳定的考查2道选择题、1道填空题和2道解答题。以下是中公考研数学辅导老师就线性代数的单位矩阵进行解析。
　　l 矩阵的定义
　　对于任意一个线性方程组(有N个未知数，M个方程，N>m)用一个表将其表式出来，例如:〔1234〕.
　　l 单位矩阵的定义
　　在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，我们称为单位矩阵，它是一个方阵除左上角到右下角的对角的元素均为1以外其余元素均为0.
　　l 单位矩阵的性质
　　单位矩阵不可能是实数它与任何矩阵A乘积等于矩阵A，这是有矩阵相乘得来的，而不是因为把单位矩阵当作1。
　　l 单位矩阵的应用与作用
　　1. 单位矩阵与秩的关系
　　秩的定义：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数。
　　例1
　　

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　　这个子式不等于0，且矩阵(3)中不含阶数大于r的子式，有秩的定义可知r是(3)的秩。同时我们可以得出以下结论：
　　㈠矩阵的秩与单位矩阵在某种意义上是等价的
　　㈡要求矩阵的秩可以通过求单位矩阵得出
　　2.单位矩阵与解的关系
　　由上述(1)方程可得其增广矩阵为：
　　1 0 ……0 C1，r+1……C1n d1
　　0 1 ……0 C2，r+1……C2n d2
　　0 0 ……1 Cr，r+1……Crn dr
　　0 0 ……0 0 ……0 dr+1
　　0 0 ……0 0 ……0 dm
　　上述矩阵中若系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同，则此方程有解，否则无解。这是通过单位矩阵来判断的。
　　3.单位矩阵的运算以及其逆运算
　　1.单位矩阵用In表示对于任意一个矩阵Anp ， Amn有
　　In Anp= Anp AmnIn= Amn
　　2.逆矩阵的定义
　　令A是数域F上一个N阶矩阵，若是存在F上N阶矩阵B，使得
　　AB=BA=I
　　那么A就叫一个可逆矩阵，B就是A 的逆矩阵。因此要求A的逆矩阵B，只需求出A→I,就有I→B。从而的出B。
　　

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　　可知单位矩阵是求逆矩阵的桥梁
　　4.通过单位矩阵来判断向量空间的维数
　　

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　　可知单位矩阵秩为2，维数为2.
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