2016考研数学一阶常微分方程的求解问题

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　　常微分方程求解作为一个单独的模块进行学习。这个模块的内容看似跟其他模块没有联系，实际上，大家没有注意到这个方程的特点，它是微分方程，关于变量导数或者偏导的方程，如果想要求解这个方程，需要把变量从导数或者偏导这个运算符号里面拿出来，也就是需要做导数的逆运算，求不定积分，这部分内容相当于不定积分的应用。微分方程分为常微分方程和偏微分方程。根据考研大纲的要求，大家只需要掌握常微分方程里面几种特定的方程求解就可以了。并且，在这部分内容学习过程中，不建议大家记公式，只需要知道每种方程的处理或者变形方式即可。下面我们具体来看这些方程的求解思路。
　　在求解常微分方程之前，大家首先要了解几个概念，例如方程的阶、通解、特解、初始条件、积分曲线等。对于一阶常微分方程，我们主要介绍可分离变量方程、齐次方程和一阶线性微分方程，在二阶微分方程我们需要掌握解的性质和二阶常系数线性微分方程的求解。剩下的几类，比如伯努利方程、全微分方程、可降阶的高阶微分方程、欧拉方程、差分方程，考的相对比较少，并且只要理解前面几类方程的求解思路，这几类方程也很好理解。下面介绍三种一阶常微分方程的求解。
　　1. 可分离变量方程

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　　在考试遇到的微分方程不会是直接给出标准形式的，所以求解微分方程的第一件事情就是首先会判断出这是哪一类方程，认清了方程的类型，我们才能做相应的变形或者带公式。这个方程的本质特点在于变量x,y是可分离的，我们可以通过不定积分得到关于x,y的函数，进而求解整理出y。在这里需要注意对常数c和绝对值的处理方式，例如

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　　这个过程中用到的提取出y的方式、任意常数c的运算以及绝对值处理方式是后面求解微分方程经常遇到的，一定要对这个过程非常熟练才能提高做题速度。
　　2. 齐次方程

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　　以上总结了最基本的三种一阶常微分方程的求解思路以及需要注意的细节问题。对于微分方程题目求解，类似与前面求极限的思路，首先要判断出它是哪一种类型，我们才能采取相应的做法去处理。对于这部分内容的掌握，除了方法以外，还需要大家多练习，才会发现更多问题，及时解决。
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　(本文作者为中公考研数学指导老师—杨京云)
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