中公考研名师详解：曲线积分与曲面积分的性质

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在多元函数的积分中，数一同学这部分的掌握不是很清楚，有两个原因，第一是这部分在复习的过程中是属于偏后的位置，学习的热情不是很高，导致对这部分的学习有些困难，其实考试对于这部分的内容很简单，只要是考生理解这些概念和性质就可以了，重点考察的仍是基础知识。下面中公考研数学辅导老师岳美汐就带大家重点辨析一下，这两部分的性质。
　　曲线积分可以分为两部分，对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分。先来看一下对弧长的曲线积分的性质，一是线性性：

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　　我们可以发现对弧长的曲线积分的性质跟二重积分的性质是完全一样的。
　　下面我们看一下对坐标的曲线积分的性质，一是线性性：

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　　通过对比这两种性质可以发现，对于线性性和关于积分曲线的可加性都是一样的，重点是对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分的不同是对坐标的曲线积分是有方向的，将积分曲线反向，积分值变为原来的相反数，从这个性质可以发现，对于坐标的曲线积分来说被积函数的大小和积分值的大小是没有直接关系的，因此，对于坐标的曲线积分就没有比较定理了。
　　曲面积分可以分为两部分，对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分。先来看一下对面积的曲面积分的性质，一是线性性：

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　　我们可以发现对于面积的曲面积分和对弧长的曲线积分的性质是一样的，通过这样的对比记忆起来就比较简单了。
　　再看对坐标的曲面积分的性质，一是线性性：

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　　二是对积分曲面的可加性：

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　　我们可以发现对于坐标的曲面积分和对坐标的的曲线积分的性质是一样，这样记忆起来比较简单。
　　同样对比对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分性质可以发现，对于线性性和关于积分曲面的可加性都是一样的，重点是对坐标的曲面积分与对面积的曲面积分的不同是对坐标的曲面积分是有方向的，将积分曲面反向，积分值变为原来的相反数，从这个性质可以发现，对于坐标的曲面积分来说被积函数的大小和积分值的大小是没有直接关系的，因此，对于坐标的曲面积分就没有比较定理了。这个也和对于坐标的曲线积分的性质是一样的。
　　（本文作者为中公考研数学辅导名师——岳美汐）