2015考研数学名师指导：导数的应用之极值和拐点

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导数的应用绝对是大家在复习导数这一章的重中之重，因为这一部分的内容是每年必考的。这部分的考点特点是很明显的：一是这部分内容涉及到的考点很多，考点多导致的结果就是大家在复习这块内容的时候容易忽略一些考试的重点，同时考点多也必然导致难点会很多;二是这部分内容考查的综合性很强，比如会和微分方程结合起来考查，让大家判断极值点或者是拐点的存在性。我们先总结一下这部分的主要考点：
　　1、切线和法线，此考点理解导数的几何意义是切线的斜率即可。
　　2、单调性和凹凸性，考查一阶导数和二阶导数。
　　3、极值和拐点，也是考查的一阶导数和二阶导数的计算，以及判断它们在区间上的正负。
　　4、渐近线，会计算垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
　　这几个考点是数一、数二、数三都要掌握的内容。之前我们讨论了对于单调性的考查，今天我们主要讨论极值和拐点的求法。极值点是和函数的一阶导数对应的，拐点是和函数的二阶导数对应的，所以极值和拐点一定是和函数的单调性和凹凸性相对应，我们又知道二阶导数可以用来描述导函数的性态，所以拐点可以理解为导函数的极值点。这里，我们主要讨论函数的极值点。
　　极值点可以简单的理解为局部范围内的最值，大家在理解极值的时候要注意下面几点内容：
　　1、极值点只能在区间内部取得，在端点处讨论极值是没有意义的;
　　2、极值只是局部范围内的最值，所以它具有局部性：极值不等同于最值，最值也不等同于极值，因为最值有可能在区间端点处取得，但是如果最值在区间内部取得的话就一定是极值;
　　3、极值对函数的性质没有要求，极值点处函数可以不可导甚至是不连续，如下图所示：

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　　在考试中，考查比较多的是让大家求函数的极值点或者判断某个点是否为极值点，这里就告诉大家可能为极值点的有两种点：一种是导数为0的点，也就是驻点;一种是导数不存在的点。这里大家要理解驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点，但是如果在极值点处函数是可导的，那么极值点就一定是驻点。知道了上述内容之后，对于大家判断极值点是很方便的。对于一点处函数是否取极值，我们有两个充分条件可以用：

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　　只要大家能够理解两个充分条件，极值点的判断就比较简单了。拐点可以说是导函数的极值点，所以在求拐点的时候只需要把极值点的相关结论导数升高一阶即可。
　　（本文作者为中公考研辅导老师——王玉娇）