2015年考研数一、数三真题解析(第22题)

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　　【考点分析】
　　本题主要考察的是考生对连续型随机变量和离散型随机变量基础知识的掌握程度，以及对于一维随机变量函数的综合运用，数学期望的性质，和常见分布的实际意义。
　　这道题的前半部分需要我们求出这个随机变量，首先我们很容易判断，Y是一个离散型随机变量，对于离散型随机变量，我们不需要任何的公式，只要掌握两点，一是取值，二是概率。当然这个分布有点类似于几何分布，可以称为几何分布的变形，这样的分布，我们其实在教材上的例题上和平时的作业中应该碰到不止一次，基础好的同学将会非常熟悉这个分布。另外在这个分布中还隐含着一个未知参数p，也就是X大于3的概率，所以在此加强了这道题目的综合性。
　　题目的后半部分属于比较新颖的类型，在往年的真题中并未出现过，但是出题人在这里铺下了两条通往答案的道路，一种是带入期望的定义公式，直接利用无穷级数求和，求出数学期望，这对于考生的高等数学基础有一定的要求，但是若考生在平时的练习当中若自己推到过常见离散型(几何分布或泊松分布)的数学期望和方差，那么这个求和过程将不再是一件难事。另外也可以利用分解法，将其分解为两个几何分布的相加的函数，那么利用期望的加法性质和几何分布期望则可让题目变得更加容易，提高解题速度，而这种分解随机变量的思想方法在求二项分布的期望和方差时也曾用到。
　　【易错点】
　　这道题目综合性很强，有以下任何一个地方出现的问题，都会导致最后计算的错误。第一，再求p的时候需要计算一个分段的无穷积分，并且这个积分函数公式很多同学特别容易记错。第二，在求Y的分布的时候，很多同学会直接当成几何分布或者再求概率的时候遗漏系数。第三，大多数同学还是很容易想到利用期望定义写出这个无穷级数，但是困难就在于高等数学中的这个级数求和，相信不少同学在这里下马，不是算不出，就是算错。
　　所以希望16和17的考生们注意，一定要扎实基础，掌握，理解和记住每一个公式，知道每个公式的来龙去脉，自己动手去推导下公式，不仅可以复习一些熟悉的性质，还有可能会有意想不到的收获。
　　最后，中公考研祝全体考生考试成功!
　　本文作者为中公考研数学名师——陆文益