名师辅导：2012考研数学填空题四大解题技巧

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　　填空题大部分是计算题，但填空题不像一般计算题，它只看结果，不看过程。所以，若做计算题的准确率不高，填空题很容易失分。虽然填空题是计算题，但是它和大题里面的计算题不一样，它的侧重点是很基本的计算，所以它涉及到的方法都是很基础的，大部分都是平时训练过的一些基本方法，特别是利用基本性质进行化简。有部分选择题还会涉及到一些技巧性的方法，如果掌握好了这些方法，可以让考生节约很多时间以便做后面的计算题。下面，万学海文数学考研辅导专家们给2012年考研的同学们介绍考研中经常用到的四个技巧。
        　　(一) 利用几何意义
        　　【例1】【00年数一】
       

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        　　_________
        　　【详解】本题常规的解法是先把
       

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        　　根号里面配方，再用三角代换，但计算量较大。实际上，本题根据定积分几何意义立刻知道应该填
       

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        　　【例2】【91年数一】若随机变量
       

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        　　服从均值为2，方差为
       

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        　　的正态分布，且
       

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        　　，则
       

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        　　_____________
        　　【详解】由于正态分布的密度函数是关于均值
       

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        　　对称，由图形可知
       

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        　　【例】【07年数一】在区间
       

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        　　中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于
       

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        　　的概率为____
        　　【详解】
       

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        　　(二)利用物理意义(重心，形心)
        　　【例3】【94年数三】设
       

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        　　，则
       

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        　　_________
        　　【详解】积分域
       

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        　　实际上是圆域
       

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        　　由形心公式知：
       

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        　　，其中
       

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        　　分别表示区域形心的
       

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        　　坐标和
       

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        　　坐标，
       

        　　表示区域的面积。本题中的圆域形心显然是圆心
       

        　　，则
       

        　　，而
       

        　　，则
       

        　　，
       

        　　，故
       

        　　【例4】【99年数三、四】计算二重积分
       

        　　，其中是由直线
       

        　　以及曲线
       

        　　所围成的平面区域。
        　　【详解】从积分区域的图形上可以看出
       

        　　，积分域的面积应为正方形的面积减去半圆面积，即
       

        　　，因此
       

        　　.
        　　(三)利用对称性和奇偶性
        　　【例5】【87年数三、四】
       

        　　________
        　　【详解】由于
       

        　　为奇函数，且积分区域
       

        　　关于原点对称.
        　　【例6】【94年数三、四】
       

        　　_________.
        　　【详解】原式
       

       

       

        　　【例7】【01年数二】
       

        　　【详解】
       

       

       

       

       

       

       

        　　【例8】【94年数一、二】设区域为
       

        　　，则
       

        　　= _______。
        　　【详解】由于积分域为，由和的对称性
       

        　　，因此
       

       

        　　.
        　　【例】【07年数一】设曲面
       

        　　，则
       

        　　【解析】
       

        　　，对于第一部分，由于积分区域关于轴、轴是对称的面，被积函数为的奇函数，所以
       

        　　又因
       

        　　关于
       

        　　轮换对称，所以
       

        　　那么
       

        　　，由曲面积分的几何意义，
       

        　　为曲面的表面积，所以
       

       

        　　而为8块同样的等边三角形，每块等边三角形的边长为
       

        　　，所以
       

       

        　　所以
       

        　　（四）赋值法
        　　【例9】【89年数一】已知
       

        　　，则
       

        　　_______
        　　【详解】令
       

        　　满足，这时