|
发表于 2016-7-24 17:06:53
|
显示全部楼层
分页标题#e#
原函数是函数,不是一个值,判定是否存在原函数,对它求导后导函数是该函数。
变限积分定积分下限为常数,上限是自变量,集合两者,把x确定为一个值它就是定积分,某种意义上它可以算是某个原函数,但是这是一般情况,总体来说它还是一个函数。
可积不一定有原函数〔一个值存在怎么断定一个趋近有函数呢,〕,有第一类间断点是没有原函数但是可以有定积分,可积。有原函数不一定可积〔1/x〕,它们之间关系颇为复杂,求一个定积分我们有能力的就是利用奇偶性或者间接利用原函数〔牛顿,来布尼次公式〕,一马归一马,注意区别。
而可积和变限积分联系挺大的,一般区间可积的话变限积分不仅存在而且连续,不深入讨论。
原函数和变限积分是最易混淆的,两者都是函数,求的过程容易觉得变限积分算是原函数的其中一个,一般函数可以这么以为,不过深入讨论,决不这么简单,对于存在原函数的上述结论正确,可是最大的区别就是有第一类间断点没有原函数,但是变限积分存在且连续,图形上理解就是有间断点,不影响面积存在性而且不影响连续性,这点可以证明。
5.一元与二元函数的可微,可导和连续
一元函数和二元函数在连续,可微,可导虽然从书上看性质不太一样但这决不违背定理,两个之间有莫大的关系。
一元函数和二元函数的连续都要求极限存在且等于函数值,不同就是因为不同元函数因为空间的分布不同决定了极限的趋近方式不同,因为一元只有x是一条轴,一根线,那么教材上强调的更多是左右趋近,其实另一角度看,正如概念区别1来说其实方式也有很多,因为别看只是一条轴它却有无穷多个点,极限是要求连续取的,可是为了区别,我们有时候会跳跃取。正如数列极限中2n,2n+1,只有同时取尽才保证极限存在,而二元函数分布于一个平面这就决定了方向的无穷性了,随意一个一元函数都可以决定一个方向y=x,y=x^2等等,作为一条曲线可以作为一条方向只要它过所确定的点即可,一元函数其实就是沿着(x,0)对二元函数的极限,这也就说明二元函数连续,那么在该点确定的一元函数也连续。举个例子f(x,y)在0,0连续,那么f(x,0)肯定在x=0连续,一般到特殊,但是反之却不可以,这也从一定程度说明证明二元函数不连续,可以选取不同y,x关系,极限不同则不连续。
可导,一元函数中有可导必连续,这是因为导数的定义决定了极限只能是0/0型的极限,自变量趋近,函数必然趋近,可导必连续,可是二元函数却没有可导必连续,为什么呢?那是因为二元函数中的可导指的是偏导,偏导就说明是作为一元函数求导的,尽管它是二元的,既然作为一元函数求导,根据一元函数可导必连续概念,我们自然会有连续的概念,不过这里的连续不是说二元函数连续,而是它作为一元函数连续,什么意思呢?还是上面说的f(x,y)在0,0处对x偏导存在,说明f(x,0)在x为0处连续而不是f(x,y)在x,y=0,0连续,因为连续作用的单位不是整个二元函数,而二元函数中的某个小分支是一元函数,连续只作用到一个分支上了。 |
|