2018考研联考初数绝对值问题

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　　2018考研联考初数绝对值问题，希望对大家有帮助，一起来看看吧。
　　篇一 : 绝对值函数的问题解决
　　绝对值函数的问题解决
　　张家港高级中学 储聪忠
　　有一道某地高三模拟考试题，涉及到绝对值函数，用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性。[)
　　试题 已知函数f(x)?x2?1，g(x)?a|x?1|.
　　(1) 若关于x的方程|f(x)|?g(x)只有一个实数解，求实数a的取值范围;
　　(2) 若当x?R时，不等式f(x)?g(x)恒函数成立，求实数a的取值范围;
　　(3) 求函数h(x)?|f(x)|?g(x)在区间[-2,2]上的最大值(直接写出结果，不需给出演算步骤). ..
　　解答
　　(1)方程|f(x)|?g(x)，即|x2?1|?a|x?1|，变形得|x?1|(|x?1|?a)?0，显然，x?1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x?1|?a，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得a?

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　　(2)不等式f(x)≥g(x)对x?R恒成立，即(x2?1)≥a|x?1|(*)对x?R恒成立， ①当x?1时，(*)显然成立，此时a?R;
　　绝对值函数 绝对值函数的问题解决
　　x2?1x2?1?x?1,(x?1),②当x?1时，(*)可变形为a?，令?(x)? ??|x?1||x?1|??(x?1),(x?1).
　　因为当x?1时，?(x)?2，当x?1时，?(x)??2，
　　所以?(x)??2，故此时a≤?2.
　　综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤

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　　?2.
　　?x2?ax?a?1,(x≥1),?(3)因为h(x)?|f(x)|?g(x)?|x2?1|?a|x?1|=??x2?ax?a?1,(?1≤x?1),
　　?x2?ax?a?1,(x??1).?
　　① 当a?1,即a?2时，结合图形可知h(x)在[?2,1]上递减，在[1,2]上递增， 2
　　且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3，经比较，此时h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3. ② 当0≤≤1,即0≤a≤2时，结合图形可知h(x)在[?2,?1]，[?,1]上递减， aa
　　22
　　aa2a?a?1， 在[?1,?]，[1,2]上递增，且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3，h(?)?242
　　经比较，知此时h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3.
　　③ 当?1≤?0,即-2≤a?0时，结合图形可知h(x)在[?2,?1]，[?,1]上递减， aa
　　22
　　aa2a?a?1， 在[?1,?]，[1,2]上递增，且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3，h(?)?242
　　经比较，知此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为a?3.
　　④ 当?≤3
　　2aaa ??1,即-3≤a??2时，结合图形可知h(x)在[?2,]，[1,?]上递减，222
　　绝对值函数 绝对值函数的问题解决
　　在[,1]，[?,2]上递增，且h(?2)?3a?3?0, h(2)?a?3≥0， 经比较，知此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为a?3. 当a2a2a3??,即a??3时，结合图形可知h(x)在[?2,1]上递增，在[1,2]上递减， 22
　　故此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为h(1)?0.
　　综上所述，
　　当a≥0时，h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3;
　　当?3≤a?0时，h(x) 在[?2,2]上的最大值为a?3;
　　当a??3时，h(x) 在[?2,2]上的最大值为

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