2015年GCT考试数学中值定理及应用

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考研数学复习中，中值定理证明题是让很多考生头疼的一个点,解这类题的关键在构造辅助函数，辅助函数构造好了，题目便能迎刃而解。对此文都汤家凤老师在《无师自通2013考研数学复习大全》中不光详细列出和讲解了中值定理相关的基础知识，而且列了专题讨论和讲解了辅助函数的构造问题并附有大量例题。本文总结其中几点如下，供考生参考。
    考研数学考察的中值定理有：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理(即微分中值定理)、柯西中值定理和泰勒中值定理。这四个定理之间的联系和区别要弄清楚，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。除泰勒定理外的三个定理都要求已知函数在某个闭区间上连续，对应开区间内可导。柯西中值定理涉及到两个函数，在分母上的那个函数的一阶导在定义域上要求不为零，柯西中值定理还有一个重要应用--洛必达法则，在求极限时会经常用到。泰勒公式中的x0=0时为泰勒公式的特殊情况，为麦克劳林公式，常见函数的麦克劳林展开式要熟记，在求极限和级数一章中有很重要的应用。
    证明题中辅助函数的构造方法：
    一、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间的差距为一阶。
    二、结论中只含ξ，不含其它字母，且导数之间相差超过一阶。
    三、结论中除含ξ，还含有端点a,b。
    四、结论中含两个或两个以上的中值