2016考研数学考试分析之高频大题(三)

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刘纬宇——数学教研室
(书接上回)
若选择了极坐标系，那接下来干什么?要选择积分次序吗?不用选，肯定是先对r积分后对角度积分，另一种次序的积分几乎没出现过。再往后就是定限了。极坐标系下定限可以简单概括为：从原点出发画一条射线穿过积分区域，与积分区域的边界有两个交点，这两个交点的r坐标即为第一次积分的积分上下限(把交点的r坐标用角度表示)。接下来，让刚才画的这条射线绕着原点旋转，直到与积分区域的边界相切，这两条切线对应的角度即为第二次积分的积分上下限。
若选择了直角坐标系，那接下来要选择积分次序。又涉及到选择了，当然是一看积分区域，二看被积函数。看积分区域的原则是避免分类讨论，看被积函数的原则是让第一次积分简单。次序选完后，就进入到收官阶段——定限了。直角坐标系下定限可以简单概括为：先对谁积分就画一条平行于哪个坐标轴的直线，穿过积分区域，与积分区域的边界有两个交点。这两个交点就对应着第一次积分的积分上下限。接下来，让刚才画的这条直线平行移动，直到与积分区域的边界相切。这两条切线就对应着第二次积分的积分上下限。
五、幂级数求和、展开
处理此类问题可以从两方面把握：工具和思路。
工具包括一般函数f(x)的泰勒级数、常见函数的泰勒级数和逐项求导、积分定理。把这三部分内容理解到位是处理求和、展开问题的前提。
函数展开成幂级数有两种方法：直接法和间接法。绝大部分真题用的是间接法。所谓间接法，即记住常用函数的泰勒展开公式，然后看题目所给函数跟哪个公式像，则朝该公式的方向变形。变形的方式包括基本变形(如裂项)和求导、求积。后一种变形方式考频更高。此种变形也可以这么理解：题目所给函数直接套公式不行，也不能通过基本变形后套公式，那就考虑求导数或求积分，把运算后的函数套公式展开成幂级数，然后做逆运算还原。
幂级数求和实质是函数展开成幂级数的逆过程，类似考虑即可。
(未完待续)