考研数学线性代数知识点框架(3)

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部分组线性相关，整个向量组线性相关。向量组线性无关，延伸组线性无关。
    回到线性方程组的解的问题，即一个向量b在什么情况下能由另一个向量组a1,a2,...,an线性表出？如果这个向量组本身是线性无关的，可通过分析立即得到答案：b, a1, a2, ..., an线性相关。如果这个向量组本身是线性相关的，则需进一步探讨。
    任意一个向量组，都可以通过依次减少这个向量组中向量的个数找到它的一个部分组，这个部分组的特点是：本身线性无关，从向量组的其余向量中任取一个进去，得到的新的向量组都线性相关，我们把这种部分组称作一个向量组的极大线性无关组。
    如果一个向量组A中的每个向量都能被另一个向量组B线性表出，则称A能被B线性表出。如果A和B能互相线性表出，称A和B等价。
    一个向量组可能又不止一个极大线性无关组，但可以确定的是，向量组和它的极大线性无关组等价，同时由等价的传递性可知，任意两个极大线性无关组等价。
    注意到一个重要事实：一个线性无关的向量组不能被个数比它更少的向量组线性表出。这是不难理解的，例如不共面的三个向量（对应线性无关）的确不可能由平面内的两个向量组成的向量组线性表出。
    一个向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等，我们将这个数目r称为向量组的秩。
    向量线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的数目。等价的向量组有相同的秩。
    有了秩的概念以后，我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉，从而得到线性方程组的有解的充分必要条件：若系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等，则有解，若不等，则无解。
    向量组的秩是一个自然数，由这个自然数就可以判断向量组是线性相关还是线性无关，由此可见，秩是一个非常深刻而重要的概念，故有必要进一步研究向量组的秩的计算方法。
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