2016考研数学线性代数：矩阵的特征值与特征向量问题

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矩阵的特征值与特征向量问题以及二次型的标准化问题均是考研数学中的重要常考点，接下来本文就来讲解一下矩阵的特征值与特征向量问题。
    　　2016考研数学线性代数：矩阵的特征值与特征向量问题
        矩阵的特征值与特征向量这一章节的内容可以归结为三大问题：
    　　1、矩阵的特征值与特征向量的概念理解以及计算问题
    这一部分要求会求给定矩阵的特征值与特征向量，常考的题型有数值型矩阵的特征值与特征向量的计算和抽象型矩阵的特征值与特征向量的计算。若给定的矩阵是数值型的矩阵，则一般的方法是通过求矩阵特征方程的根得到该矩阵的特征值，然后再通过求解齐次线性方程组的非零解得到对应特征值的特征向量;若给定的矩阵是抽象型的，则在求特征值与特征向量的时候常用的方法是通过定义，但此时需要考虑的是特征值与特征向量的性质以及应用。
    2、矩阵(方阵)的相似对角化问题
    这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。
    　　3、实对称矩阵的正交相似对角化问题
    其实质还是矩阵的相似对角化问题，与2不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A。最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。