（1）一维随机变量的数字特征
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| 离散型
| 连续型
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期望
期望就是平均值
| 设X是离散型随机变量，其分布律为P( )＝pk，k=1,2,…,n，
（要求绝对收敛）
| 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，
（要求绝对收敛）
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函数的期望
| Y=g(X)
| Y=g(X)
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方差
D(X)=E[X-E(X)]2，
标准差
，
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矩
| ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即
νk=E(Xk)= , k=1,2, ….
②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即
= ， k=1,2, ….
| ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即
νk=E(Xk)=
k=1,2, ….
②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即
=
k=1,2, ….
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切比雪夫不等式
| 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式
切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率
的一种估计，它在理论上有重要意义。
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（2）期望的性质
| （1） E(C)=C
（2） E(CX)=CE(X)
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。
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（3）方差的性质
| （1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)
（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
（4） D(X)=E(X2)-E2(X)
（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
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（4）常见分布的期望和方差
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| 期望
| 方差
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0-1分布
| p
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二项分布
| np
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泊松分布
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几何分布
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超几何分布
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均匀分布
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指数分布
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正态分布
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| n
| 2n
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t分布
| 0
| (n>2)
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（5）二维随机变量的数字特征
| 期望
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函数的期望
| ＝
| ＝
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方差
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协方差
| 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩，记为 ，即
与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为 与 。
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相关系数
| 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称
为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。
| |≤1，当| |=1时，称X与Y完全相关：
完全相关
而当 时，称X与Y不相关。
以下五个命题是等价的：
① ；
②cov(X,Y)=0;
③E(XY)=E(X)E(Y);
④D(X+Y)=D(X)+D(Y);
⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
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协方差矩阵
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混合矩
| 对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l阶混合中心矩记为：
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（6）协方差的性质
| (i) cov (X, Y)=cov (Y, X);
(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);
(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
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（7）独立和不相关
| （i） 若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。
（ii） 若（X，Y）～N（ ），
则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。
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发表于 2017-8-6 14:55:23