2015年MBA备考数学：如何构造函数

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先举个例子设函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，且f(a)=f(b)=0，求证存在s属于(a，b)，使 s*f(s)+f‘(s)=0
这类问题都可以化成求s，使f(s)=g(s)*f’(s)的问题，解决方法是构造函数。 令 g1(x)=-1/g(x)的积分 q(x)=e^g1(x)
则我们构造出f(x)*q(x)这个函数，再用柯西定理去解决。 试试看，不用再绞尽脑汁去构造函数。 文章开头的例子的解法：求s 使s*f(s)+f‘(s)=0
即f(s)=-1/s*f‘(s)令g(x)=-1/x 则g1(x)=-1/g(x)积分=x积分=x*x/2 则q(x)=e^(x*x/2) 现在我们构造出函数
p(x)=f(x)*q(x)=f(x)*e^(x*x/2) 则函数p(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，且p(a)=p(b)=0
根据柯西定理，存在一点s，使p’(s)=0 p‘(x)=f(x)*e^(x*x/2)*x+f’(x)*e^(x*x/2)
=[x*f(x)+f‘(x)]*e^(x*x/2) 存在s使p’(x)=0，因为e^(x*x/2)《》0 所以s*f(s)+f‘(s)=0
这些通用解法可以节省时间，否则要想出q(x)=e^(x*x/2)太费劲