2018考研数学之抽象型行列式的计算

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现阶段已是五月中下旬了，关于线代的课程大部分地区也都开始了，线性代数对于一部分同学来说可能是完全没有学过，我们知道考研数学中无论数一、二还是数三都是要考的，线代部分也占了150分中的34分。因此，我们要想数学考高分，就必须把线代和概率论部分尽量不要丢分。今天我们谈谈关于抽象形行列式的计算。抽象型行列式主要在选择题填空小题中考察，往年真题中也都出现过此类题型。本篇我们主要来说抽象型行列式。
　　下面我们就来看有关抽象型行列式的计算方法问题。
　　对于抽象型行列式来说，其计算方法就有可能是与后面的知识相结合来处理的。关于抽象型行列式的计算：
　　(1)利用行列式的性质来计算，这里主要是运用单行(列)可拆性来计算的，这种大多是把行列式用向量来表示的，然后利用单行或者列可拆性，把它拆开成多个行列式，然后逐个计算，这时一部分行列式可能就会出现两行或者列元素相同或者成比例了，这样简化后便可求出题目中要求的行列式。
　　(2)利用矩阵的性质及运算来计算，这类题，主要是用两个矩阵相乘的行列式等于两个矩阵分别取行列式相乘，这里当然要求必须是方阵才行。这类题目的解题思路就是利用已知条件中的式子化和差为乘积的形式，进而两边再取行列式，便可得到所求行列式。之前很多年考研中都出现过此类填空或者选择题。因此，此类题型同学们务必要掌握住其解题思路和方法，多做练习加以巩固。像2003年数二、2004年数一、二还有2005年的数一、二以及2006年数一、二、三都考了个填空题，其均是用化和差为乘积的形式来处理的，然后利用矩阵和行列式的性质解决的。可知利用矩阵的性质求行列式是非常重要的一种求行列式的计算方法。
　　(3)利用单位矩阵的来求行列式，这类题目难度比前面题型要大，对矩阵的相关性质和结论要求比较高。早在1995年数一的考研试卷中出现过一题6分的解答题，这题就是要利用A乘以A的转置等于单位矩阵E这个条件来代换的，把要求的式子中的单位矩阵换成这个已知条件来处理的。
　　(4)利用矩阵特征值来求行列式，这类题在考研中出现过很多次，利用矩阵的特征值与其行列式的关系来求行列式，即行列式等于矩阵特征值之积，这种方法要求同学们一定要掌握住，课下要多做些练习加以巩固。例如2000年数学三考了一题用矩阵的特征值来求解抽象形行列式的填空题，这就要求我们同学们对特征值与行列式之间的关系要熟练。已知矩阵的特征值我们要会求其矩阵逆的特征值、伴随的特征值以及关于矩阵多项式的特征值。
　　关于抽象型行列式的计算，大体就这些，希望同学们要重视此类题型的解法，最后，希望同学都有个好的成绩，加油!
　　(跨考教育数学教研室 吴方方)
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