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五月初，2018考研数学大部队已把高数复习完了。复习效果如何?下面纬宇老师为各位精选了两道题(一道真题，一道真题改编题)，构成了一个小的全真模拟测试。复习效果如何，一测便知。
一、试卷
2018基础阶全真模拟测试
(时间：8分钟;满分：8分)
1.(1993-1改编 4分)求r=(cos2Ɵ)的1/2次幂所围平面图形的面积。
2.(2009-1,2,3 4分)证明拉格朗日中值定理。
二、答案
1.【答案】1。
2【答案】移项构造辅助函数，验证满足罗尔定理条件，用罗尔定理即得结论。
三、评价
0分：基础薄弱。建议利用暑期前的时间对照考纲把教材内容看一遍，课后习题做一遍。
4分：基础尚可，但不扎实。建议利用暑期前的时间把课后习题做一遍。
8分：基础牢固。可着手复习线代、概率，或提前进入强化阶复习。
四、分析
这两道题一个是真题，一个是真题改编题;一个属于一元微分，一个属于一元积分;一个是证明题，一个是计算题。且均为单一考点题。所以这两题在一元微积分中有一定代表性，属于基础阶段的题目。
要想有底气地把第一题做对，考生须“掌握两点，弄清两点”。第一点需要掌握的是常考曲线的图像和方程。教材在定积分应用部分列出了不少曲线的图像和方程，真题考过的是其中的三个：双扭线、星形线和摆线。这三种曲线的图像和方程要熟悉:看到方程能识别出曲线类型，画出曲线图像，并熟悉曲线的关键性质(如双扭线关于x轴和y轴均对称，过原点在第一象限作切线，其与x轴的夹角为45度)。
第二点需要掌握的是极坐标系下曲边三角形的面积公式。该公式等号右侧为一个定积分，其中被积函数简记为“1/2曲边表达式的平方”。
考生若掌握以上两点，求出正确结果并不困难。但很难说“有底气”，因为有两个问题多数考生想不清楚：1. r=(cos2Ɵ)的1/2次幂表示的是完整的双扭线吗?会不会只有一部分?2. 这个题也没有说图形是曲边三角形，那能看成曲边梯形，进而用直角坐标系下曲边梯形面积公式算面积吗?
花开两朵，各表一枝。想弄清第一个问题，至少有两个办法：几何法和代数法。前者指取几个特殊点验证(比如从双扭线图像上取几个特殊点，代入r=(cos2Ɵ)的1/2次幂看等号是否成立。具体地，令Ɵ分别等于-pi/4,0, pi/4,3 pi/4, pi ,5pi/4,解出r的值，进而得到6个特殊点)。后者指利用代数表达式推出Ɵ的范围，进而确定图像(令cos2Ɵ>=0，解出Ɵ的范围kpi-pi/4
想弄清第二个问题，可以在纸上画三个图：双扭线，曲边梯形和曲边三角形。将第一幅图和后两幅图对比，不难看出双扭线是曲边梯形的特殊形式(曲边梯形的左侧边长度为0，且和坐标原点重合，右侧边长度为0)，也是曲边三角形的特殊形式。那双扭线所围图形的面积能用曲边梯形面积公式吗?请先写出双扭线的直角坐标方程：出现了y的四次方和二次方，想把y解出来太困难!那就宣告了此路不通。
至于第二题，教材上有完整证明过程。该题属于中值定理大家族，历年真题中常考证明大题，近年来沉寂了数年后又重出江湖!要求考生在基础阶段把该部分的几个关键定理(费马、罗尔、拉格朗日、柯西)定理内容会表述，会证明。
读到此处的考生想必已对自己的水平有了大致的认识，这也就为后续复习提供的依据。考研是一场马拉松，一时的领先和落后对最终结果有影响，但不是决定性的。相信已选择了远方的你，会懂得风雨兼程的。
(跨考教育数学教研室 刘玮宇)
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发表于 2017-5-18 15:55:49