2017年考研数学定积分和多元函数微分解析及2018复习规划

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跨考教育数学教研室 向喆
　　大家好，2017年考研数学已经落下帷幕。跨考数学教研室的向喆老师为大家做考点解析以及为2018年考试复习提供建议。
　　在2017年的考研数学中，数学三的第九题考查的是对称区间定积分问题，利用奇偶性就可以轻松解决;十五题考查的是变限积分求极限问题，要注意洛必达法则的应用;十七题考查的是定积分定义求极限。数学二的第二题考查的是定积分的的性质，比较定理;第十一题考查无穷限积分;十五题考查变限积分求极限，洛必达法则;十七题考查定积分定义。这些都是常规考法，而且难度不大。对于多元函数微分，数三第十二题考查全微分的理解，积分方法。数二第五题，一阶偏导单调性问题;第十二题考查全微分的理解，积分方法的应用;第十六题考查二元抽象函数的求偏导，对链式法则要求较高。
　　针对2017年对定积分和多元函数微分的考查方式，同学们在2018年考研备考中应该注意下面问题：
　　1.明晰定积分知识体系
　　这章包括：定积分的定义，性质;微积分基本定理;反常积分;定积分的应用。这四个部分各有侧重点。其中定积分的定义是重点;要理解微积分基本定理;要掌握定积分在几何和物理上面的应用。至于反常积分大家了解就行了。
　　2.深刻理解知识点
　　首先是定积分的定义及性质。同学们要理解分割，近似，求和，取极限这四个步骤。同时要知道其几何意义及定义中需要注意的方面。对定积分定义的考察在每年考研中是必考内容。所以希望引起大家的足够重视。至于性质，大家关键也在于理解。特别是区间可加性;比较定理;积分中值定理。然后是微积分基本定理。这个知识点非常重要。因为它定义了一种新的函数：积分上限函数。而且在一定的条件下，它的导数就是f(x)。所以我们扩展了函数类型。那么导数应用中的切线与法线;单调性;极值;凹凸性等应用就可以与积分上限函数联系了。接着大家要注意变限积分求导了，最好请大家自己证明下。第三个要说的是反常积分。对这一部分，同学们了解基本定义，会用定积分判断是否收敛就够了。最后，是定积分的应用。其实就是微元法在几何以及物理上面的应用。同样的，同学们要知道数学一，数学二，数学三的区别。在几何上，数学三只用掌握用定积分求面积和简单几何体的体积。而数学一和数学二还要求掌握用定积分求曲线弧长，旋转曲面面积。在物理应用方面，数学一和数学二主要掌握用定积分求变力沿直线做功，抽水做功，液太静压力和质心问题。但核心是，同学们一定要掌握微元法的思想。
　　对于多元微分，深刻理解概念就是要说清楚多元函数微分学与一元函数微分学的区别以及大家需要注意的地方。那么，在多元函数微分学的知识体系中，最重要的就是对基本概念的理解。也就是要理解多元函数的极限，连续，可导与可微。重点是可导的概念。我以二元函数为例。二元函数有两个变量，那么可导就是说的偏导数。至于可微的思想可以直接平移一元的。虽然有些变化，但是基本的形式是一样的。最后，三者关系。这是相当重要的一个点。具体来说，可微可以推出可导和连续，而反之不成立。希望大家不仅要记住结论，还要知道为什么是这样的关系。大家通过自己推一推就可以准确的把握这三个概念了。在大家深刻理解了这些概念后，后面的内容就偏向计算了。
　　3.计算能力强
　　对于定积分，在大家理解了重点知识以及明确了考试重点后就需要做题巩固了。大家先针对我说的重点知识进行做题巩固，关键是每做一个题就要理解，要反思，要多想想考察了知识点那些方面。然后对次重点知识辅助做一些题，了解就够了。
　　对于多元微分，这章考查的重点还是计算。计算实质上就是多元函数微分学的应用。它主要包括偏导数的计算;方向导数与梯度;二元函数极值(无条件与条件)。其实考查计算对大家来说是最容易的考法。因为大家只要懂方法就够了，不用理解方法怎么来的。具体来说，计算偏导数，特别是高阶偏导数，大家只要掌握了链式法则就够了。同时掌握下高阶导数与求导次序无关的条件。至于计算方向导数与梯度，大家就需要知道它的含义，然后记住两个公式就行了。最后是二元函数的极值。它分为无条件极值和有条件极值。先说无条件极值。大家可以把它跟一元函数极值做个类比。这样会学的轻松些。至于条件极值，大家只要会了拉格朗日乘数法就行了。所以，这章对大家的计算能力要求很高。大家一定要沉下心仔细体会方法，然后多做练习就够了。
　　总之，通过对2017年考研真题的分析，希望大家为2018考试做好准备，学习好定积分和多元微分，为以后的高等数学的复习打好基础。祝大家马到成功!
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