2015年考研数学：方程根的个数问题例题（一）

考研网 · 发表于 2016-8-6 08:29:09

　　2015年考研复习已经进入了最重要的暑期强化复习阶段，考研数学不管是对文科生还是理科生来说，都是值得重视的的问题，太奇考研老师提醒大家，复习固然是考研中很重要的一环，但是考研信息战也已经打响，在我们专注于考研复习的同时千万不要忽略掉考研相关信息资料的发布。
　　方程根的个数问题
　　方程 =0的根，也就是函数的零点，有关方程根的问题一般可以利用函数的有关理论加以分析和解决。
　　主要的分析解决工具包括：
　　1)函数零点定理：若函数在上连续，且，则至少存在一点，使 ( 称为函数的零点)。
　　2)函数单调性：若函数在上连续且单调(单调增加或单调减少)，则：1)当时，在上有唯一零点;2)当时，在上没有零点。
　　3)罗尔中值定理：若函数在上连续，在上可导，且，则至少存在一点，使。
　　一般求解步骤：
　　1)先看有无明显的实根;
　　2)引入相应函数，写出定义域，判断端点函数值和特殊点函数值的正负;
　　3)求导数，找出驻点和单调区间，讨论在各单调区间上的实根个数。
　　典型例题
　　例1.求方程不同实根的个数，其中k为参数 (2011年考研数学一第17题)
　　解析：显然 =0是一个实根。令，则，，， ;若，单调减少，只有唯一零点，即原方程只有唯一实根x=0;
　　1)若，在上都是单调减少，且，故只有唯一零点，原方程只有唯一实根x=0;
　　2)若，当时，，单调增加，而，所以 ;当时，，单调减少;由此得：在区间上各有一个零点，即原方程在这3个区间上各有一个实根。
　　综上得：当时，方程只有一个实根;当时，方程有3个不同实根。
　　例2.设有方程，其中为正整数，证明此方程存在唯一正实根，并证明当时，级数收敛 (2004年考研数学一第18题)
　　解析：设，则，由零点定理知在(0,1)上至少有一个零点。而，故在(0，+∞)上单调增加，因此，在(0，+∞)上只存在唯一一个零点，且0
　　注：n次方程有n个根，因此方程的负实根可能有很多个(可能还有复数根)。
　　上面就是考研数学之高等数学中的方程根的个数问题这类重要题型及解题方法，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，老师们还会陆续向考生们介绍其它常考重要题型及解题方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位考生在2015考研中取得佳绩。

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