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2015年考研复习已经进入了最重要的暑期强化复习阶段，考研数学不管是对文科生还是理科生来说，都是值得重视的的问题，太奇考研老师提醒大家，复习固然是考研中很重要的一环，但是考研信息战也已经打响，在我们专注于考研复习的同时千万不要忽略掉考研相关信息资料的发布。
方程根的个数问题(二)
方程 =0的根，也就是函数 的零点，有关方程根的问题一般可以利用函数的有关理论加以分析和解决。这类问题的主要分析解决工具包括：函数零点定理，函数单调性，罗尔中值定理。关于这些理论，在前一篇文章中已经做了说明，下面主要看一些典型例题。
典型例题
例1.(2012年考研数学二第21题)
(Ⅰ)证明方程 ( 为整数)在区间 内有且仅有一个实根;
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为 ，证明 存在，并求此极限
解析：(Ⅰ)令 ，则 ， ， 连续，由零点定理得， 在区间 内有一个实根，又 ， 在(0，+∞)内单调增加，故 在区间 内仅有一个实根。
(Ⅱ)由 ， 得 ，而 在(0，+∞)内单调增加，故 ，即 单调减少，又 ，所以 存在，设 ，则由 ，得 ，因为 ，所以 ，上式取极限得 ，
例2.(2005年考研数学三第7题)
当 取下列哪个值时，函数 恰有两个不同的零点( )
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
解析：函数定义域为(-∞，+∞)，令 ，得 ，因为 ，所以 为极大值， 为极小值。由 知，
当 或 时， 恰有两个不同的零点，解之得 或 ，应选(B)
例3.(2000年考研数学一第九题)设函数 在[0,π]上连续，且 ， ，试证：在(0,π)内至少存在两个不同的点 ，使 .
证：分析：由条件 和推广的中值定理易知，存在 ，问题的关键是怎么利用第二个条件。为此，令 ，则 ， ，由推广的中值定理得，存在 ，使 ， ，而 ，分别在 上利用罗尔定理可得，存在 ，使 ，即 。
例4.设 ，则 的不同实根个数为( )
解析：5个。由 ，根据罗尔定理知， 在区间(1,2),(2,3),(3,4)中各有1个实根，又x=3是 的二重根，故x=3是 的单根，同理，x=4是 的二重根。 是6次方程，共有6个实根(x=4是二重)，不同实根个数为5.
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发表于 2016-8-6 08:28:57