初等数学复习指导：排列组合与集合的关系

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一、集合元素的个数以常见的全排列为例，用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，则每一个九位数都是集合A的一个元素，集合A中共有9!个元素。以下我们用S(A)表示集合A的元素个数。
　　二、集合的对应关系两个集合之间存在对应关系(以前学的函数的概念就是集合的对应关系)。如果集合A与集合B存在一一对应的关系，则S(A)=S(B)如果集合A中每个元素对应集合B中N个元素，则集合B的元素个数是A的N倍(严格的定义是把集合B分为若干个子集，各子集没有共同元素，且每个子集元素个数为N，这时子集成为集合B的元素，而A的元素与B的子集有一一对应的关系，则S(B)=S(A)*N
　　例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S(A)=9!集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3!这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S(A)=S(B)*3! S(B)=9!/3!这就是我们用以前的方法求出的P(9，6)
　　例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法?设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6!个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则 S(B)=S(C)*6! S(C)=9!/3!/6!这就是我们用以前的方法求出的C(9，6) 以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合(1，2，3，4，5)建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合(1，2，3，4，5)的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。
　　我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。
　　例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种? 9个人排成一排，不同排法有9!种，对应集合为前面的集合A 9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A中都对应不同元素，但在集合D中相当于同一种坐法，所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素，所以S(D)=9!/9 我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人，再排其他人，结果为8!。这个方法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系。用集合的思路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系，使一个集合的子集与另一个集合的元素就会形成一一对应的关系。
　　例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，但要求1排在2前面，求符合要求的九位数的个数。集合A为9个数的全排列，把集合A分为两个集合B、C，集合B中1排在2前面，集合C中1排在2后面。则S(B)+S(C)=S(A)在集合B、C之间建立以下对应关系：集合B中任一元素1和2位置对调形成的数字，对应集合C中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此S(B)=S(C)=9!/2 以同样的思路可解出下题：从1、2、3…，9这九个数中选出3个不同的数作为函数y=ax*x+bx+c的系数，且要求a>b>c，问这样的函数共有多少个?
　　例5：M个球装入N个盒子的不同装法，盒子按顺序排列。这题我们已经讨论过了，我再用更形象的方法说说。假设我们把M个球用细线连成一排，再用N-1把刀去砍断细线，就可以把M个球按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。而砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式(如两把刀排在一起，就表示相应的盒子里球数为0)。所以方法总数为C(M+N-1，N-1)
　　例6：7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共有________排法. 解：甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分，设四部分人数分别为X1，X2，X3，X4，其中X1，X4》=0，X2，X3》0 先把其余4人看作一样，则不同排法为方程 X1+X2+X3+X4=4的解的个数，令X2=Y2+1，X3=Y3+1 化为求X1+Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数，这与把2个球装入4个盒子的方法一一对应，个数为C(5，3)=10 由于其余四人是不同的人，所以以上每种排法都对应4个人的全排列4!，所以不同排法共有C(5，3)*4!=240种。 集合的方法运用熟练后，不需要每次具体设定集合，但头脑中要有清晰的对应关系。