线性代数8月复习指导：体系化复习

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　　八月份马上开始，而考研数学的复习基本上在八月份是进入了线性代数和概率论的强化复习，所以中公考研在这儿给首先给大家提一些线性代数相关的复习建议。由于强化阶段的复习注重习题的解答以及知识点综合的练习，所以我们就从综合应用知识为主进行分析。
　　首先我们需要谈到的是行列式，因为行列式是线性代数的基础，是贯穿整个学科的，而且其计算技巧性强，考查多样化，所以首先给大家介绍一下行列式的计算。
　　本质上来讲行列式的计算可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式的计算。
　　1.数值型行列式的计算
　　主要方法有：
　　(1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的计算，但是它计算量大，而且容易出错;
　　(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算;
　　(3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算;
　　(4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算;
　　(5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。
　　2.抽象型行列式的计算
　　主要计算方法有：
　　(1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的;
　　(2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的行列式的计算;
　　(3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算;
　　(4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算;
　　(5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。
　　接下来就给大家介绍一下相关联模块的学习，由于线性代数本身联系非常紧密，所以大家平时也要自己总结一些。
　　1.行列式与矩阵
　　行列式的核心内容是求行列式——具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的比较综合的题。
　　矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵相关的重要公式、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
　　而在行列式与矩阵的联系中，重点是求解一些抽象行列式的计算，也就是一些通过矩阵形式给出的行列式的计算。比如计算kA、A的转置的行列式等等。
　　2.向量与线性方程组
　　向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
　　向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
　　这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。
　　(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系
　　齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
　　齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
　　(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
　　同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩→线性相关、无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。
　　(3)非齐次线性方程组与线性表示的联系
　　非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。
　　3.特征值与特征向量
　　相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，“牵一发而动全身”。
　　本章知识要点如下：
　　(1)特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
　　(2)相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：
　　(3)矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。
　　(4)实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。
　　4.二次型
　　这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵使其可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
　　本章知识要点如下：
　　(1)二次型及其矩阵表示。
　　(2)用正交变换化二次型为标准型。
　　(3)正负定二次型的判断与证明。
　　（本文作者为中公考研辅导老师——李森）