2016考研常见数学小问题集锦（1）

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　　在数学备考的过程中，我们大都会把自己沉浸习题的海洋里，做题，查答案，做题，查答案，如此反复，不免枯燥。于是，中公考研小编找来一些有趣的数学小题目，快利用你的碎片时间来挑战一下吧。
　　1、设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为一数列。下面命题正确的是( )
　　A、若{xn}收敛，则{f(xn}收敛。
　　B、若{xn}单调，则{f(xn)}收敛。
　　C、若{f(xn)收敛，则{xn}收敛。
　　D、若{f(xn)}单调，则{xn}收敛。
　　解题思路
　　(1)——(C)(D)都不对的关键在于：在本题条件下，就算相应的函数值列收敛或单调，自变量列xn可以是趋向正无穷的，没有极限。
　　(2)——(A)情形只知道自变量列xn收敛，它可能不是单调的。
　　单调的函数不一定连续。且，“如果单调函数在单调区间内一点x0间断，则只能是跳跃间断。”(实际上，如果函数在x0的左右极限相等，则f(x0)只能等于极限值，否则就破坏了单调性。)
　　设想xn既有子列从左边，又有子列从右边趋向点x0，则自变量列收敛于点x0而相应的函数值列却不收敛。故(A)错。
　　反例：x小于0时f=x，f(0)=1，x大于0时f=2+x
　　(3)——(B)对。在本题条件下，若自变量列单调，相应的函数值列必定也单调。且是有界的。
　　2、f(x)在[a，b]上可微，且f‘(x)在(a，b)内单调增加，又f(a)=f(b)=A(常数)，证明，在(a，b)内，恒有f(x)
　　解题思路
　　这是个运用“构造法”的好题。
　　f(x)在[a，b]上可微，自然连续。f(a)=f(b)=A，故由洛尔定理，(a，b)内存在一点c，f′(c)=0
　　已知f′(x)单增，故零点唯一。且在(a，c)内f′(x)
　　而在(c，b)内f′(x)>0，f(x)单增，f(x)
　　从而在(a，b)内，恒有f(x)
　　3、计算极限小总结
　　(1)非零的因式先求极限。
　　(2)0/0型未定式题目的两个主要类型——
　　分子(或分子分母各)是“等价无穷小相减产生的高阶无穷小”——
　　应对手段：连续使用洛必达法则。
　　修练方法：利用五个常用函数的幂级数展开式，尽可能多记一些等价无穷小
　　分子分母是“不同阶的无穷小的线性组合”，(无穷小多项式)——
　　应对手段：(化零项法)分子分母同除以商式中的最低阶的无穷小，各项分别取极限。
　　4、(每段是初等函数的)分段函数求导，分界点处用定义计算，各段用法则与公式。老老实实地记与做，既简明又少犯错误。
　　当然，你可以懂得更细一点。可导一定连续。不连续必然不可导。连续是讨论可导性的前提。
　　函数在点a可导的充分必要条件是左右导数存在且相等。
　　在定义分界点a的一侧，比如右则。可以用定义求得右导数。同时，在右側这一段内，你用法则与公式求出了导函数。自然就会产生一个想法，能否以此求极限得到点a的导数。这是锤炼知识及思维细密性的好时机。
　　(1)如果求极限，是求导函数在点a的右极限。这个右极限存在吗?
　　(2)按照定义求右导数。“右导数”与“导函数在点a的右极限”是两回事。
　　(3)如果这个右极限存在，它和“右导数”相等吗?
　　用拉格郎日公式可以证明，“如果导函数在点a的右极限存在，则函数在点a的右导数一定存在，且两者相等。”(一个好练习题!)
　　左侧可以类似讨论。
　　结论：验证了分段函数在分界点a连续后，在两边区间内各自求导。令x趋于a，分别求导函数的极限。若两者相等，它就是函数在点a的导数。若两者不等，函数在点a不可导。