2015年考研高等数学复习重点：多元函数积分

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根据2015年的考研数学大纲，对多元函数的积分学的要求，我们来着重分析一下这部分知识。我们都知道，高等数学又称为微积分，“积”就是积分，尤其是对于多元函数的积分这部分知识，同学们学习起来有一些苦难，那么下面我就带着同学分析一下多元函数的积分学。
　　首先是了解二重积分、三重积分的概念，性质，重点还是在计算上面。下面我们就具体来说计算。
　　二重积分计算的主要思路是化为累次积分进行计算，那么把二重积分化为累次积分有两个思路，一是使用直角坐标，二是使用极坐标。
　　那么我们先说一下二重积分的计算方法。对于二重积分的计算，我们首先要根据题目的条件先画出积分区域草图，同学请注意一定要看准条件，正确的画图，这一步如果出现问题，后面在计算二重积分很有可能出现错误。一定要保证积分区域图形的准确。
　　我们说二重积分是要化为累次积分进行计算，那么选择积分次序就很重要，我们在选择积分次序主要是尽量的避免分类讨论。这个主要是由我们之前画的图形决定，其次是根据我们被积函数，看被积函数先算那个简单。选择完积分顺序之后，在确定积分上下限，然后就开始计算。对于二重积分我们主要是用直角坐标，极坐标这两个方法。对于直角坐标同学理解还是比较简单，但是对于极坐标很多同学都不是很理解，其实在我们高数课本上册的附录上有一些常用的极坐标图形，这样就可以帮助同学理解极坐标的应用。
　　在计算二重积分的时候，我们将二重积分化为累次积分计算，但是对于三重积分我们要想化为累次积分计算，这个要化为三个定积分的计算，确定三个定积分的上下限是有些困难。所以三重积分我们一般化为一次定积分和一次二重积分来算。具体说，就是“先一后二”或则“先二后一”的方法。这个方法与计算二重积分几乎是一样的，没有必要重复。那么对于三重积分还会利用球面坐标来计算这个方法。对于球面坐标主要是角度，同学要注意这个问题就行了。
　　在计算曲线积分这里分为对弧长的积分和对坐标的积分，首先我们要了解这两种积分的几何和物理意义，以及性质，对于对弧长的积分比较简单，就是把曲线方程代入就可以了，这里有一些公式，需要同学记住。对于对坐标的曲线积分，我们一定要注意起点和终点。这类曲线积分是有关系的，主要是通过格林公式将两类曲线积分相互转换。在用格林公式的，我们要注意格林公式的使用条件。同样对于这块会有一些物理和几何的应用题。这块的主要我们掌握最根本的求两种曲线的方法，对于实际问题应用，也是会比较轻松。
　　这里还有两类曲面积分，首先我们要了解这两种积分的几何和物理意义，以及性质，对于对面积的积分比较简单，就是把曲面方程代入就可以了，这里有一些公式，需要同学记住。对于对坐标的曲面积分，我们一定要注意投影方法。这类曲线积分是有关系的，主要是通过斯托克斯公式将两类曲面积分相互转换。在用斯托克斯公式的，我们要注意高斯公式的使用条件。同样对于这块会有一些物理和几何的应用题。这块的主要我们掌握最根本的求两种曲线的方法，对于实际问题应用，也是会比较轻松。
　　希望通过我的分析有利于同学的学习。
　　(本文作者为中公考研数学名师——岳美汐）