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发表于 2016-7-24 15:41:05
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分析 原极限 = lim (4x + 1- cos x + x ? sin x) / (2x +x -lnx)
分子分母都是“多项式型无穷小”。用“化0项法”， 分子分母同除以（商式中的）最低阶的无穷小。 原极限 = 2
例3 x→0 时， 求 lim（1/ x2）ln（sin x / x）
分析（ 数三学过幂级数） sin x = x - x3 / 6 + ……
ln（sin x / x）= ln（1— x 2 / 6 + ……）~ —x 2 / 6 ，可替换。
无穷小怪例 ——不能确定阶数的无穷小
怪例1 α = x sin（1/x）和β = x 都是无穷小，但是它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。两个无穷小不能比较。
更有意思的是，若 γ = x的k次方 ，则无论 k = 0.9,还是k = 0.99, k = 0.999,……，α总是比γ高阶的无穷小。
怪例2 x → +∞ 时 ， l i m （x的n次方）∕exp（x）= 0 即 l i m （x的n次方）exp（-x）= 0
这表明：“x趋于 +∞ 时，指数函数exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”
或说， x趋于 +∞ 时， exp（-x）是“任意大阶的”无穷小。它能“吞吸”任一有限阶的无穷大。
怪例3 x → +∞ 时 ， lim l n x ∕ （x的δ次方）= 0
其中，δ是任意取定的一个很小的正数。这表明： x 趋于 +∞ 时，“对数函数lnx总是比 x的δ次方 都还要低阶的无穷大。”或说，1 / l n x是“阶数任意小” 无穷小。
无穷小的阶与级数，广义积分收敛性 ——
判断级数，广义积分收敛性，首先判断绝对收敛性。
如果用“无穷小量”的语言来说，则，“级数收敛的必要条件是，n → +∞时 ，级数的通项是无穷小量。”
这个条件不是充分条件。如果我们已经判定正项级数的通项的无穷小阶数为p ， 则p > 1时级数收敛，p≤1时级数发散。
“已经判定”是重要前提。请看（并记住）怪例
尽管1 / n ln n 是较 1/n 高阶的无穷小，但是，通项为 1 / n ln n 的级数也发散.然而，通项为 1 / n (ln n)2 的级数收敛．你却不能确定其无穷小阶．
*若n → +∞时 ，两个正项级数和的通项是同阶无穷小，则这两个级数或者都收敛，或者都发散。（这是极限形式的比较法的实质。）
例 ∑ Un为正项级数，下列结论中正确的是______
（A）若n → +∞时 ，lim n Un=0 ，则∑ Un收敛。
（B）若∑ Un收敛，则n → +∞时 ，lim n2 Un = 0
（C）若存在非零常数λ，使得n → +∞时 ，lim n Un = λ，则级数 ∑ Un发散。 |
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