2015年考研高数：极限计算常用7种突围方法

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　　之前，我们已经在“2015年考研数学高数复习极限篇之极限概述”中详细说明了考研数学中极限这部分内容的考试要求、在考研中的地位以及常见题型，但是大多同学最关心的还是极限的计算到底有哪些常用的方法。跨考教育数学教研室田晓辉老师，就这个问题，将极限的常用计算方法总结归纳如下。
　　计算极限的常用方法
　　(一) 四则运算法则
　　四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。
　　(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)
　　洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。
　　另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。
　　(三) 利用泰勒公式求极限
　　利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如

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，

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等。也可以用来求解未知极限式中的未知参数，和解决抽象函数的极限。尤其是未知极限式中的未知参数，比起洛必达更适合用泰勒公式去做。
　　(四) 幂指函数的极限计算方法
　　幂指函数指的是，底数和指数都是函数的函数。对于幂指函数考研中经常考的题型是未定式的形式，如：

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，

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，

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。统一的处理方式是做

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恒等变形，从而只要能计算出极限

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就可以了。当然对于

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的形式除了用刚才那种方法，也可以用重要极限去做。对于

用两种方法得出的结果都是

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，其中

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。把这个当结论记住，遇到

的形式直接用就可以了。
　　(五) 夹逼定理
　　夹逼定理是极限这部分两个收敛准则之一，数一数二要求掌握并会用它求极限。数三要求了解极限存在的收敛准则，经常以求

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项和的极限这种形式出现或数列极限的形式出现。使用夹逼定理的核心在于放缩，即将要计算极限的函数或数列放大和缩小之后分别求极限，如果这两者的极限都等于同一个数，那么原先的函数或数列的极限也就等于这个数。这里在放缩的时候一般要遵循两个基本原则：一是要便于计算，二是要适度(也即放缩之后的极限必须一致)。夹逼定理主要用来求数列极限，对数一数二的要求高一些。
　　(六) 单调有界定理
　　单调有界定理是极限存在的另一个收敛准则。考研中的题型主要是证明一个数列极限存在，并求其极限常见于数一二，尤其是数二，11、12、13年连续三年考单调有界定理。这种类型题目，主要就是证明数列单调有界(单调递增有上界，单调递减有下界)即可。
　　(七) 定积分定义
　　考研中求

项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式

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，只要把要求的极限凑成等是左边的形式，就可以用定积分去求极限了。
　　以上是田晓辉老师对求极限的常用方法的归纳总结，希望对大家的学习有帮助，祝学习顺利!