2017考研数学之幂级数展开与求和

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跨考教育-数学教研室-田晓辉
级数在考研数学中属于数一和数三要考查的内容，其核心内容为幂级数展开与求和。下面跨考教育数学教研室就幂级数展开与求和这部分内容做下详细解说。
幂级数展开与求和在考试中常以解答题形式出现。要学好展开与求和，首先，我们需要两大工具：1、常见泰勒级数及收敛域;2、逐项展开与逐项求导。其次，要掌握常用方法。
展开常用方法，一是直接展开，这种考法较少，二是间接展开，以这种考法居多。间接展开解题的要点如下。
(1)转化，将函数f(x)在某非零点处展开，转化到在x=0处展开。
(2)拆项，将函数拆成两项之和或差，然后利用常见函数的幂级数展开将两个展开式求和或者求差便可。
(3)因式分解，将函数分解成两项之积，一般其中一个因式为低次(至多为二次)多项式，另一个用常见幂级数展开式展开。
(4)求导法，先对函数求导，再用常见幂级数展开式展开，最后逐项积分。
(5)积分法，先对函数积分，再用常见幂级数展开式展开，最后逐项求导。
幂级数求和是展开的逆问题，比展开要难，考研中常用到的方法如下。
(1)直接套用已知的基本展开式，后者拆后套用。
(2)系数的分母中含有n的阶乘的，考虑用指数函数,或者正弦函数与余弦函数的某种组合。
(3)系数的分母中含有n、n+1、n+2的可以先逐项求导。系数的分子中含有n、n+1、n+2的可以先逐项积分。
除此之外，展开与求和部分还会考一些综合性题目，如跟微分方程结合在一起考查。总之主要方法还是如上综述的方法。望考生们多联系，以体会上述方法。