2015专硕管理类数学中的染色问题

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管理类数学中令考生头疼的是排列组合概率，排列组合中有一类问题，可称之为染色问题。这类问题考试频率并不高，过去七年的考试中只考过一次，而且是比较早的年份考的。但是准备考试的考生仍然是不能放弃的，越是近没考过，才越有可能出现在考卷中。染色问题难度很大，但是如果掌握了其中的核心规律，不说对所有染色问题手到擒来，但应对我们考试中的染色问题是绰绰有余的。
　　一、常见染色问题
　　1. 将A，B，C三种颜色，涂到如图所示的区域中，每块区域只涂一种颜色，相邻区域不能涂相同颜色，颜色不能有剩余，则不同的涂法种数为( B )
　　
       

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　　2. 一个地区有五个行政区域，现给地图着色，有4种颜色可供选择，每块区域只涂一种颜色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂法种数为( A , C )
　　
       

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　　3. 一个地区有五个行政区域，现给地图涂色，有4种颜色可供选择，每块区域只涂一种颜色，相邻区域不能涂相同颜色，且颜色不能有剩余，则不同的涂法种数是( A )
　　
       

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　　4. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并且使同一条棱上的两端异色，若只有五种颜色可供选择，则不同的染色方案有( C )种
　　
       

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　　二、染色问题的解决方法
　　解决这类问题的方法主要有三种，以4题为例，这道题是这五道题中复杂的，如果理解了这道题，其他题目都不在话下。
　　方法一：S点是比较特殊的，与其它四点都相邻，也就是说S涂上色后，其他四点都不能与之同色。从五种颜色中任选一种
　　
       

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　　以C和A分类：若C和A颜色相同，则A-C-B-D依次涂色的方法总数为
　　
       

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　　;若C和A颜色不同，则A-C-B-D依次涂色的方法总数为
　　
       

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　　用一个式子表达即
　　
       

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　　(若涂好S后涂A，四种，再涂B，三种，再涂C，C不与B相同即可，三种，再涂D，这时候会发现一个问题，D不能与C和A相同，那C和A是否相同呢?观察后会发现，C和A可以相同也可以不同，是否相同会影响D的涂色方法。由此，一直这样涂下去会产生错误，问题出在C和A是涂相同颜色还是不同颜色，所以以此分类。