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　　二次型典型题型：

　　1)化二次型为标准型;

　　2)判别或证明二次型的正定性;

　　3)判别或证明矩阵的合同性;

　　二次型典型题型的解题方法：

　　1)用正交变换法、配方法化二次型为标准型(即：将实对称矩阵合同对角化);

　　2)用初等变换法化二次型为标准型(注：若 ，则 );

　　3)根据 元实二次型 正定 正惯性指数 存在可逆阵 ，使 特征值全大于0为正 顺序主子式全大于0 合同于某个正定矩阵 合同于单位阵;

　　4)利用正定性质：若二次型 正定，则 ， 都正定

　　5)根据合同矩阵判定定理： 阶实对称阵 合同 存在可逆阵 ，使 秩和正惯性指数相等 秩和符号差分别相等 正负惯性指数分别相等.

　　典型例题分析：

　　例1. 设二次型 ，记 。 (2013年考研真题数学(一)第21题)

　　(Ⅰ)证明二次型 对应的矩阵为 ;

　　(Ⅱ)若 正交且均为单位向量，证明二次型 在正交变换下的标准形为

　　分析：对问题(Ⅰ)，只要将 表示为矩阵形式即可，对问题(Ⅱ)，可以根据题目特点作相应正交变换，也可以采用特征值和特征向量方法证明，具体如下。

　　解析：(Ⅰ)令 ，则 ，故 对应的矩阵为 ;

　　(Ⅱ)证法1：令 为方程 的一个单位向量，则 为正交矩阵，作正交变换 ，则 ， 。(注：这个方法类似于配方法)

　　证法2：二次型 对应矩阵 ，∵ 正交且均为单位向量，∴ ，∴ ，故 是 的特征向量，对应特征值是2，同理，由 ，知 是 的特征向量，对应特征值是1，又 ，∴ ，0是 的特征值，故 的特征值为2,1,0，因此 在正交变换下的标准形为

　　例2. 设二次型 的负惯性指数是1，则 的取值范围_________. (2014年考研真题数学(一)第13题)

　　分析：负惯性指数为1，说明恰有一个特征值为负，另外两个特征值非负。

　　解析:二次型的矩阵 ，因为 负惯性指数为1，所以恰有一个特征值为负，不妨设 则

　　，(1)若 ，则 此时符合题意，而 ， 即-2< <2. (2)若

　　,则 (因为 )，此时 ，当 时， ， ， ， 符合题意;当 =-2时， ， ，

　　，符合题意，综上， 的取值范围是 。


 

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