2016考研数学：线性代数之向量组的秩
在线性代数这一学科中，“秩”几乎算是一个最难的概念了，它的难点在于“秩”有两个定义，一个是矩阵的秩，一个是向量组的秩。所谓矩阵的秩，指的是矩阵最高阶非零子式的阶数，而向量组的秩指的是向量组的极大线性无关组中向量的个数。那这两个秩之间有什么联系呢?其实，要回答这个问题，我们可以从矩阵与向量之间的联系入手。在学习向量的概念时，我们已经提及过，向量其实就是一个特殊的矩阵—— 维行向量是一个n行1列的矩阵，而 维列向量是一个n行1列的矩阵。另一方面，矩阵也可以写成向量的形式，若将一个矩阵 按行分块，可以将其写成一个列向量的形式：
所以，对于一个矩阵，我们可以从三个角度去分析它的秩。第一，就是矩阵的秩，它表示的是矩阵非零子式的最高阶数;第二，是矩阵的行秩，指的是矩阵的行向量组的极大线性无关组中向量的个数;第三，矩阵的列秩，指的是矩阵的列向量组的极大线性无关组中向量的个数。
关于这三个秩的关系，我们有一个定理：矩阵的行秩等于列秩且等于矩阵的秩。
从这个定理可知，矩阵的这三个秩是相同的，明确这一点，对我们以后的学习有两个方面的意义。第一，既然这三个秩相同，那我们以后就可以对它们三个不加区分，因为，它们都表示矩阵的秩。第二，这个定理为我们解决与秩相关的问题打开了一个新的思路。以后，在求向量组的秩时，我们可以将其转化成求矩阵的秩，相应的，求矩阵的秩时，可以转化成求向量组的秩。比如，我们在实际计算矩阵的秩时，可以先将其通过初等行变换，化成阶梯型矩阵，然后看非零行，非零行的个数就等于矩阵的秩。之所以可以这样做，是因为，在阶梯型矩阵中，一个非零行对应着一个主元，而一个主元就对应着极大线性无关组中的一个向量，所以非零行的个数就等于极大线性无关组中向量的个数，而极大线性无关组中向量的个数就是矩阵的秩。所以，非零行的个数就等于矩阵的秩。
所以，学到这儿，我们会发现，矩阵的秩与向量组的秩其实就是同一个概念的两种不同表达形式，以后，在求矩阵的秩时，我们只需求矩阵的秩、行秩、列秩三个当中的任何一个就可以了。
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（本文作者为中公考研数学辅导名师——曹严梅）
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