2016考研数学：二重积分求解方法综述
在考试中，多元函数积分学中的二重积分这个考点是很重要的，尤其对于数二和数三的考生来说，是一大块重点内容。不同的考点考察侧重点也是不同的，大家如果把握住了这样一个规律，在复习的时候就可以针对各个知识点的考察方向和方式进行复习。相比较一元函数积分学的内容，除了会考察计算，积分学的一些精髓比如定积分的性质、概念、积分中值定理、微积分中值定理等等也会重点考察。但是对于二重积分来说，它是定积分的一个推广，概念、性质等也有相似的结论，那么考试中对二重积分的考察会侧重于计算。下面我们就一起来看看如何快速有效地去计算一个二重积分。首先给出几个辅助计算的运算性质。
1. 线性性质
以上性质中，线性性质和积分区域可加性是所有积分，包括定积分，二重积分，三重积分，两种曲线和曲面积分都满足的性质，也是在计算二重积分常用的运算性质。被第2条性质，积函数为1的积分也有相似地结论，被积函数为1的定积分、二重积分和三重积分分别为积分区间长度、积分区域面积和积分区域的体积。比较定理在有方向的曲线和曲面积分中会失效。第4条性质类似定积分的学习，还可以有估值定理，进而有二重积分的中值定理等。
有了以上计算二重积分的性质，下面我们具体介绍直角坐标系和极坐标系下两种二重积分的求解方法。求解二重的原则就是将其化为累次积分，也就是相当于求两个定积分的过程。
计算直角坐标系下的二重积分的一个整体的步骤：
首先画出积分区域，从图中可以确定一些点的坐标，包括曲线交点、区域边界点等等，帮助我们确定积分上下限。其次，将一个二重积分化为累次积分还要面临一个选择的问题，即先对哪个变量积分，也就是积分次序选取的问题。我们知道，总共有两种方法，先x后y，或者先y后x。确定积分次序的原则通常有以下两种方式：
先看积分区域。这里会涉及到关于定限方法的学习，先对x积分，那么y就是一个常量，我们的方法是画一条平行于x的直线， ，与积分区域的交点可以确定出y的上下限，然后拉着这根直线上下划过积分区域，求出直线和积分区域在边界的交点，就得到x的上下限。当然，这里要求下限小于上限。如图所示
对于极坐标下的二重积分，不讨论积分次序，一律先 后 。关键在确定积分上下限。这里定限的方法和直角坐标系类似，先对 积分，把 看做常量，画一条从原点出发的射线，与积分区域的交点即定为上下限。拉着这根直线在积分区域内晃动，它和积分区域边界的交点的角度值即为 的范围。
除了会正确计算二重积分外，通常在计算二重积分时，还要注意利用对称性简化计算过程。这也是在讲定积分在对称区间上的简化计算的一个推论。如果积分区域关于x轴对称，被积函数关于y是奇函数，那么积分值为零;被积函数关于y是偶函数，则积分值等于2倍的半个对称区域上的积分值。其他的结论类似。
对于数一的同学来说，掌握了二重积分的计算，对后续学习三重积分和曲线曲面积分都是很有帮助的。二重积分这个考点每年都会考到，希望大家能够掌握好这一部分内容。
本文作者为中公考研数学辅导名师——杨京云
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