2016考研数学：函数连续性的定义
说起连续，首先我们的头脑里要有一幅图画，因为在高等数学里面，所有的概念都是通过极限来定义的，而这会对我们的理解造成障碍。所以，我们需要借助图像，把抽象化的东西具体化。比如说，给出一个坐标轴，要画出一条连续的曲线出来，应该怎么做?其实，方法很简单。我们只需把笔放到纸上，只要保证在整个画的过程当中，笔不离开纸，随便怎么画，得到的曲线都是连续的。所以说，连续很简单，连续就是不间断。然后，我们从数学的角度来来认识一下连续。连续，一定是通过极限去定义的。首先，我们先来研究一下函数在一点处的连续。如果，我们在一条连续的曲线上面取一点x0，在这条曲线上面，我令x→x0。我们会发现，不管x是从左边趋近于x0，还是从右边趋近于x0，两边的极限都都等于函数在这一点的函数值f(x0)。如果是这样的话，我们就称函数在点x0处连续;连续的数学定义就是：假设函数f(x)在x=x0的某邻域内有定义，并且，
，则称函数f(x)在x=x0处连续。
所以，到现在为止，提到连续，我们要想到两个东西：首先，从图像上看，连续就是不间断，连续就是连续;其次，从数学定义上看，只要这个式子
成立，就叫连续。这两点之间的关联，同学们要记清楚。其实，在考试里面，要掌握这个概念，很关键的一点是，我们在前面讲的极限的概念和求极限的基本方法，你要熟练。所以，连续这个概念的根本还是在极限。
这是我们对于连续这个概念的一个相对比较初步的认识，原则上来讲，我们理解了这个也就够了。但是，我们还可以做进一步的阐释。所谓函数在x0点连续，指的是这个等式
要成立。但是，我觉得对于这个等式，你要读懂它的意思。一旦一个定义式里面提到极限，就会牵涉到这个极限到底存不存在。因为，我们在求极限时，有些时候极限存在，有些时候极限不存在。所以，这个等式
左边的极限，可能存在也可能不存在。要想让这个等式成立，首先得保证这个极限是存在的，然后，还得有这个极限值等于x0点的函数值。
我们知道，函数在一点处的极限存在，其实是要求它的左、右极限都存在且相同。所以说，连续性的定义还可以这样去表达：
认识到这一点，才算是真正的理解了函数的连续性，这对我们后续的解题或者对我们理解这块的内容有两个方面的意义。首先，有些时候，我们是需要分别计算左、右极限的。也就是说，一提到函数f(x)在x0这一点连续，我们需要把两个东西反应出来：第一，要把这个式子
反应出来；其次，还应该把这个式子
反应出来。当然，这两个式子是完全等价的，具体用哪个，就取决于函数在这一点的极限需不需要分左右去算。到现在为止，对函数连续性这个概念，我们就从这两方面去掌握就可以了。
当然了，第二个意义是什么呢?我们发现，函数在一点处连续，要求左、右极限都要存在并且都要等于函数值，这个条件其实相对来说有点过于苛刻了，很多时候，我们的函数可能不能完全满足，有可能只满足一部分。比如说，有些时候，我们会发现，左极限是等于函数值的，这个叫函数f(x)在x0处左连续。类似的，我们可以定义右连续。
2016年考研复习已经开始了，希望考生能够好好利用，做好规划。中公考研推出2015考研全年集训、半年集训、魔鬼集训、vip1对1、系列备考专题，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，希望考生参考借鉴。同时，中公考研还推出了考研直播课堂，不用出门就可以边听课边学习，提高复习效率。
（本文作者为中公考研数学辅导名师——曹严梅）
页:
[1]