2015考研高等数学之定积分的应用
定积分的应用这部分知识可以说是高等数学对于数一、数二和数三考生的一个分水岭，从这部分内容开始数一、数二和数三在考点范围的区别开始显现。虽然前几章内容中数一、二、三的考点也有不同的地方，但是差别很小，从本章开始它们的差别会越来越大。这里我们不是要去强调它们的区别，而是想告诉大家本章中数一、二、三在考点要求上的不同，让大家对于本章的学习有一个更明确的目标和方向。首先我们说一下考试对于定积分应用这章的要求，要求主要有两个：1、对于计算公式的记忆。大家通过复习也应该发现了，这章需要大家记忆的公式是最多的，这里要告诉大家的是我们记公式的时候不能死记硬背各个公式，而是需要抓住各个公式的本质;2、对微元法的掌握。微元法是本章我们使用的最多的方法，也是大家必须掌握的方法，大家一定要掌握微元法的思想：分割、近似、求和、取极限。
定积分的应用与导数的应用相比，综合性更强，题型也更多变，下面我们就来讨论定积分的具体应用。定积分主要有两方面的应用：在几何上的应用和在物理上的应用。物理上的应用包括求功、压力、质心、形心、引力、转动惯量等，这部分内容只有数一和数二的考生需要复习，其中复习的时候也只需要复习功、压力、质心、形心就可以了，因为后面的引力和转动惯量基本没在数学中考过。几何上的应用包括求平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、平面曲线的弧长以及旋转体的侧面积，其中数三的考生只需要看平面图形的面积、旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体体积，所以这部分内容中数三的考生是比较轻松的，而数一、数二的同学就比较辛苦了。下面我们主要分析讨论数一、二、三都考的内容，也就是平面图形的面积、旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体体积的计算方法。
首先我们看平面图形的面积。在定积分的应用里面，求平面图形的面积可以说是最简单的，因为我们知道定积分的几何意义就是表示平面图形面积的代数和，所以要求平面图形的面积，只需要掌握定积分的计算方法，那么在计算平面图形的面积时就不会出问题。
我们再来看求简单几何体的体积，这一部分包括求旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体体积，虽然看着是两方面的要求，但实际上我们只需要掌握一种类型的计算方法就可以了，也就是求平行截面面积为已知的立体体积。如下图所示：
大家在做定积分应用的题目时，关键不是记住这些公式，关键是要能够掌握这些公式的本质思想，只要理解了这些本质内容，在我们做题的时候就不用死记公式了，这样的话也可以提高大家的学习效率。
(本文作者为中公考研数学名师——王玉娇)
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