关于2018年考研数学高数考试大纲的内容解析
高等数学作为硕士研究生招生考试的内容之一，主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。依据数学考试大纲中的考试要求，我们在下面的表格中简要罗列了高等数学在数学(一)、数学(二)和数学(三)这三个卷种中所涵盖的考试内容。
数学（一）
数学（二）
数学（三）
公共考点
1、函数、极限、连续；2、一元函数微分学；3、一元函数积分学；
4、多元函数微分学；5、二重积分；6、常微分方程。
单独考点
1、向量代数和空间解析几何；
2、三重积分、曲线曲面积分；
3、无穷级数
（1）常数项级数
（2）幂级数
（3）傅里叶级数
1、差分方程；
2、无穷级数
（1）常数项级数
（2）幂级数
接下来，我们就从数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共部分开始。
一、函数、极限、连续
高等数学在考研中，也被称为微积分学。微积分学的研究对象是函数，许多重要的概念都需要用极限理论精确定义，因此极限是微积分学的重要基础，这部分内容对后续内容的学习影响深远，故应重点掌握。
在这一部分，由于数学(一)、数学(二)、数学(三)的考试要求完全一样，故这里不做分类。
考纲内容：
1、函数的概念及表示法、函数关系的建立;
2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;
3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数;
4、基本初等函数的性质及其图形，初等函数;
5、数列极限与函数极限的定义及其性质;
6、函数的左极限和右极限;
7、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷大量的比较;
8、极限的四则运算：掌握极限的四则运算法则;
9、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限;
10、函数连续的概念，函数间断点的类型;
11、初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质;
根据往年改卷反馈回来的数据可知，大部分考生对函数、极限、连续这一部分的内容普遍掌握得比较好，但由于这部分内容与后续内容多有交叉，因此考生要注意前后知识的融会贯通。
二、一元函数微分学
一元函数微分学不仅在微积分的学习中占有着极其重要的地位，而且它也是考研数学考查的重点。在这里，对于数学(一)和数学(二)单独考点，我们会在相应的内容后面予以标出，未做任何标出的内容则为数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共考点。
(一)考纲内容：
1、导数和微分的概念：须掌握一阶导数和二阶导数的定义式;
2、导数的意义：
(1)几何意义：
(2)物理意义：数学(一)、(二);
(3)经济意义：数学(三);
3、函数的可导性与连续性之间的关系;
4、导数和微分的四则运算;
5、基本初等函数的导数、复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性;
6、微分中值定理;
7、导数的应用，具体考点如下：
(1)平面曲线的切线和法线;
(2)洛必达法则;
(3)函数单调性的判别;
(4)函数的极值;
(5)函数图形的凹凸性、拐点及渐近线;
(6)函数图形的描绘;
(7)函数的最大值与最小值;
(8)弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径：数学(一)、(二)。
(二)重点及常见考点：
1、基本概念方面：重点有导数和微分的定义、可导与连续的关系。考生需要掌握一阶和二阶导数的定义，会利用导数的定义讨论分段函数在分段点处的可导性。
2、理论方面：重点是罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理;这里考生要掌握通过构造辅助函数证明中值问题。
3、计算方面：重点是基本初等函数的导数、微分公式，导数、微分的四则运算以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导公式。此外，这里还要求考生会求函数的二阶导数和某些函数的n阶导数。
4、应用部分：重点是利用导数研究函数的性态。
三、一元函数积分学
这部分内容是拉开考生之间学习差距的一个重要节点。
考纲内容：
1、原函数、不定积分和定积分的概念：要求考生理解原函数、不定积分和定积分的概念;
2、不定积分和定积分的基本性质、基本积分公式、定积分中值定理：要求考生掌握不定积分的基本公式、不定积分和定积分的性质以及定积分中值定理;
3、不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法：要求考生熟练掌握这两种积分法的使用;
4、有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分：做到会计算(数学(一)、数学(二));
5、积分上限的函数及其导数、牛顿-莱布尼兹公式：要求考生理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼兹公式的使用;
6、反常(广义)积分：了解反常积分的概念、会计算反常积分;
7、定积分的应用：
(1)平面图形的面积、旋转体的体积、函数的平均值;
(2)平面曲线的弧长、旋转体的侧面积(数学(一)、数学(二));
(3)功、引力、压力、质心、形心等(数学(一)、数学(二));
(4)会利用定积分求解简单的经济应用问题(数学(三))。
四、多元函数微分学
多元函数微分学是一元函数微分学的发展，二者之间既有相同点，也有很多区别，在学习中要注意比较异同点，加深对基本理论的理解和应用。
考纲内容：
1、多元函数的概念、二元函数的几何意义：理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义;
2、二元函数的极限与连续的概念、有界闭区域上多元函数的性质：了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质;
3、多元函数的偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件：理解多元偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性;
4、多元复合函数、隐函数的求导法、二阶偏导数：掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，了解隐函数存在定理(数一)，会求多元隐函数的偏导数;
5、多元函数的极值和条件极值、多元函数的最大值、最小值及其简单应用：理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值、会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
6、(数一)方向导数和梯度：理解方向导数和梯度，并掌握其计算方法;
7、(数一)空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线：了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
五、多元函数积分学
考纲内容：
1、二重积分的概念、性质和计算：了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标);
2、(数三)无界区域上简单的反常二重积分：了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.
3、(数一)三重积分的概念、性质、计算和应用：会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标);
4、(数一)两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系：理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，掌握计算两类曲线积分的方法;
5、(数一)格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件、二元函数全微分的原函数：掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数;
6、(数一)两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系、高斯公式、斯托克斯公式：了解两类曲面积分的概念、性质、及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。
7、(数一)散度、旋度的概念及计算：了解散度与旋度的概念，并会计算;
8、(数一)曲线和曲面积分的应用：会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等)。
六、常微分方程
常微分方程是与微积分有紧密联系的一门数学分支、在实际问题中有重要应用。利用常微分方程建立实际问题的数学模型和方程的求解是这部分内容的两个核心问题。
考纲内容：
1、常微分方程的基本概念：了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念;
2、变量可分离的微分方程、、齐次微分方程、一阶线性微分方程：掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程;
3、(数一)伯努利方程、全微分方程、可用简单的变量代换求解某些微分方程：会解伯努利和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些微分方程;
4、(数一、数二)可降阶的高阶微分方程：会用降阶法解下列形式的微分方程： 5、线性微分方程解的性质及解的结构定理：理解线性微分方程解的性质及解的结构;
6、二阶常系数齐次线性微分方程：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法;
7、(数一、数二)高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程：会求解某些高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;
8、简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，(数一、数二)以及这些自由项的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;
9、(数一)欧拉方程：会解欧拉方程;
10、微分方程的简单应用：会用微分方程解决一些简单的应用问题，(数三)会用微分方程求解简单的经济应用问题。
七、差分方程(数三)
考纲内容：
1、差分与差分方程的概念、差分方程的通解与特解：了解差分与差分方程及其通解与特解等概念;
2、一阶常系数线性差分方程：了解一阶常系数线性差分方程的求解方法。
八、无穷级数(数一、数三)
1、常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念：了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念;
2、级数的基本性质与收敛的必要条件、几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法：了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法;
3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数与莱布尼茨定理：了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法;
4、幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域：理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;
5、幂级数的和函数、幂级数在其收敛区间内的基本性质、简单幂级数的和函数的求法：掌握幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项积分和逐项求导)，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和;
6、初等函数的幂级数展开式：掌握 的麦克劳林公式，
7、(数一)函数的傅里叶系数与傅里叶级数、狄利克雷定理、函数在 上的傅里叶级数、函数在上的正弦级数和余弦级数：了解傅里叶级数、狄利克雷定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。
本章节的重点：
1、常数项级数的收敛与发散的概念、基本性质与收敛的必要条件，这些概念是级数的基础概念，是后续内容的基础;
2、常用级数的敛散性：几何级数与p级数;
3、能够识别数项级数的类型、具备综合利用性质和主要判别法判断级数的收敛性的能力;
4、会计算幂级数的收敛半径、收敛区间、和收敛域，注意收敛区间与收敛域的区别与联系;
5、注意简单幂级数的和函数的做法，能够灵活利用幂级数的分析性质将函数展开成幂级数。
(跨考教育数学教研室 包新卓 转载请注明出处)
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