2011年考研数学：微积分的基本介绍讲义十二
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第二次数学危机及微积分逻辑上的严格化
微积分诞生之后，数学迎来了一次空前繁荣的时期。对18世纪的数学产生了重要而深远的影响。但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础，这在初创时期是不可避免的。科学上的巨大需要战胜了逻辑上的顾忌。他们需要做的事情太多了，他们急于去攫取新的成果。基本问题只好先放一放。正如达朗贝尔所说的：“向前进，你就会产生信心！”数学史的发展一再证明自由创造总是领先于形式化和逻辑基础。
于是在微积分的发展过程中，出现了这样的局面：一方面是微积分创立之后立即在科学技术上获得应用，从而迅速地发展；另一方面是微积分学的理论在当时是不严密的，出现了越来越多的悖论和谬论。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。例如，有时把无穷小量看作不为零的有限量而从等式两端消去，而有时却又令无穷小量为零而忽略不计。由于这些矛盾，引起了数学界的极大争论。如当时爱尔兰主教、唯心主义哲学家贝克莱嘲笑“无穷小量”是“已死的幽灵”。贝克莱对牛顿导数的定义进行了批判。
当时牛顿对导数的定义为：
当x增长为x+o时，x的立方（记为x^3）成为（x+o）的立方（记为(x+o）^3)。即x^3+3 x^2o+ 3x o^2+ o^3。x与x^3的增量分别为o和3 x^2o+ 3x o^2+ o^3。这两个增量与x的增量的比分别为1和3 x^2+ 3x o+ o^2，然后让增量消失，则它们的最后比为1与3 x^2。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设o是不为0的，而在论证的后一部分又被取为0。那么o到底是不是0呢？这就是著名的贝克莱悖论。这种微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机，而这次危机的引发与牛顿有直接关系。历史要求给微积分以严格的基础。
【编者按】从公布的2011考研数学大纲来看，广大考生在此之前按照2010年数学考试大纲的范围和要求来复习是完全符合今年的考试标准的。2011年的数学大纲没有发生变化，首先对同学们来讲是一件好事，避免了因为考纲出现较大变动而引起的紧张焦虑情绪，可以按原计划继续按部就班复习；但同时需要提醒考生特别注意的是，虽然知识点没有变化，但命题的老师很可能将采用更加灵活多变的命题形式考查考生的对知识点的掌握及各种能力，应对这一难题的方法就是扎实复习，透彻掌握最本质的知识内容及其内在联系，则不管题目形式如何变化，一切难题均可迎刃而解！
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