2015考研数学线性代数典型题型分析：二次型典型题型
在考研数学中，二次型是线性代数部分的重要考点之一，近些年是每年必考，并且常常是与特征值和特征向量结合在一起出一个占11分的大题，因此大家一定要理解其知识点，并熟练掌握其解题方法。关于二次型的考题，在数学（一）的考研试卷中偶尔也会结合高等数学中空间曲面方程的知识点进行命题，但对于数学（二）和数学（三）的考研试卷，则不会出现这种情况，这是因为数学（二）和数学（三）的考研大纲中不包括空间曲面的内容。
二次型典型题型：
1）化二次型为标准型；
2）判别或证明二次型的正定性；
3）判别或证明矩阵的合同性。
二次型典型题型的解题方法：
1）用正交变换法、配方法化二次型为标准型（即：将实对称矩阵合同对角化）；
2）用初等变换法化二次型为标准型（注：若
，则
）；
3）根据
元实二次型
正定
正惯性指数
存在可逆阵
，使
特征值全大于0为正
顺序主子式全大于0
合同于某个正定矩阵
合同于单位阵；
4）利用正定性质：若二次型
正定，则
，
都正定
根据合同矩阵判定定理：
阶实对称阵
/collect/201608/08/bb0aae7508724307a088fd14983cc27d43.png
合同
/collect/201608/08/e62a507257544147abd4d3c00a5b78f443.png
存在可逆阵
/collect/201608/08/ad91d4aeede3459ba6f26b6fa6bb30bf43.png
，使
/collect/201608/08/4551ba283db14a56bd6809c583a2cd0c43.png
/collect/201608/08/32f949f02d5a422faf30716035abd94e43.png
秩和正惯性指数相等
/collect/201608/08/e171d7d6cb474fe9902d343de7c6c60843.png
秩和符号差分别相等
/collect/201608/08/cd40c28558f94d11bf297932da32023343.png
正负惯性指数分别相等。
典型例题分析：
例1. 设二次型
/collect/201608/08/8f33d9cfb0564f02a13c55cefff07e1243.png
，记
/collect/201608/08/1d1ecd965eed43f98e01ed2584b9beb843.png
。 （2013年考研真题数学（一）第21题）
（Ⅰ）证明二次型
/collect/201608/08/bb86861cdb514e2fb3dfc6cbe36350bc43.png
对应的矩阵为
/collect/201608/08/29574d396f7e4c37b365b926c80ddc6a43.png
；
（Ⅱ)若
/collect/201608/08/c7d520ce16dc4067814e49a2ee09bca843.png
正交且均为单位向量，证明二次型
/collect/201608/08/58cc3f221a714304853fabe761844f8a43.png
在正交变换下的标准形为
/collect/201608/08/3b8ecbd2f00644bdb28c40169c82a25f43.png
分析：对问题（Ⅰ），只要将
/collect/201608/08/6f8f2ddde79545a0978ba154a993b86043.png
表示为矩阵形式即可，对问题（Ⅱ），可以根据题目特点作相应正交变换，也可以采用特征值和特征向量方法证明，具体如下。
解析：（Ⅰ）令
/collect/201608/08/8a2b3a63a32d43a38f704a0794ee8d7a43.png
，则
/collect/201608/08/49165cf82dd544ce8da72ec590f36ead43.png
，故
/collect/201608/08/e5f125d86c294213b0fa049bfb440a6543.png
对应的矩阵为
/collect/201608/08/37dd83b3ec6b4b2dbe686c3e995e2a7f43.png
；
（Ⅱ)证法1：令
/collect/201608/08/89051eac43f8454fb6d95c15e48b0eea43.png
为方程
/collect/201608/08/5eff84b3a2324727ae32188bbc3556af43.png
的一个单位向量，则
/collect/201608/08/e1e857f7099d4aa380c0329d356cc46743.png
为正交矩阵，作正交变换
/collect/201608/08/a7999c318b8043f887686ce4c0f5626743.png
，则
/collect/201608/08/77dd5b92dacc4a96b43ca1dfe356f47343.png
，
/collect/201608/08/c0a6ed339baa4dffb72805314b86cfdd43.png
。（注：这个方法类似于配方法）
证法2：二次型
/collect/201608/08/90b55bf076ca48fd9b81baef17863a4643.png
对应矩阵
/collect/201608/08/c0247c58b4634dfcb1f5f67a9bea6c0943.png
，∵
/collect/201608/08/3ef676bc6cbe4520bf6a0728692c878243.png
正交且均为单位向量，∴
/collect/201608/08/9485e2fecfd84982934b690e0be467b443.png
，∴
/collect/201608/08/3c99fce563d44f499adfb1e3504f355443.png
，故
/collect/201608/08/9dc7b238773c41bba337bfd431eb539143.png
是
/collect/201608/08/38d5a5d25d8748ae8a0d91b2ab7f2e5b43.png
的特征向量，对应特征值是2，同理，由
/collect/201608/08/f621efc9a754438aae2ca6ae954e922043.png
，知
/collect/201608/08/556d09c731da4188835b878b012c2a8e43.png
是
/collect/201608/08/896af1acca42440384d0b82e5e4505e143.png
的特征向量，对应特征值是1，又
/collect/201608/08/98dffa681fe6440b9719206109577e1143.png
，∴
/collect/201608/08/012b4122d0f24d188087bf51e560727b43.png
，0是
/collect/201608/08/9fe6181d5744426e8a210fab1155921743.png
的特征值，故
/collect/201608/08/6910b625f67d4f36a06adf99f9944fb343.png
的特征值为2,1,0，因此
/collect/201608/08/5267f7973fac40ecad001eb023b589f343.png
在正交变换下的标准形为
/collect/201608/08/832a6946a9454ef1ad5603297492d06f43.png
例2. 设二次型
/collect/201608/08/e67d29a9802c43e8bb2df4fc6cbde3a743.png
的负惯性指数是1，则
/collect/201608/08/1358f0015c2541f5ae8d957214cebc7843.png
的取值范围_________. （2014年考研真题数学（一）第13题）
分析：负惯性指数为1，说明恰有一个特征值为负，另外两个特征值非负。
解析：二次型的矩阵
/collect/201608/08/507922ee1ed94e00a20d0d227bdc041a43.png
，因为
/collect/201608/08/84ad4d7ee9b94ceba6b0c7326a8c194a43.png
负惯性指数为1，所以恰有一个特征值为负，不妨设
/collect/201608/08/67b13205ce6c420788fd218a9164f31843.png
则
/collect/201608/08/f517d2a05f3144d2a1a23c51dfac04cc43.png
，（1）若
/collect/201608/08/2d75ce6da2ce4595beb3188e80aea22b43.png
，则
/collect/201608/08/8def19ac65b245338bac5023acbf74a643.png
此时符合题意，而
/collect/201608/08/cd95f402c82d4b7080665d9569ac446243.png
，
/collect/201608/08/42465062cc8d458ebe5fbb4e70902ebe43.png
即－2
以上就是对考研数学中线性代数向量这部分内容典型题型及解题方法的分析，希望大家认真复习，考出好成绩。
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