2016考研数学线代重点：特征值和特征向量分析
2016年考研复习已经进入了冲刺复习阶段，太奇考研老师提醒大家，复习固然是考研中很重要的一环，但是考研信息的关注也十分的重要，在我们专注于考研复习的同时千万不要忽略掉考研相关信息资料的发布。判断或证明矩阵可对角化的方法：
1)实对称矩阵可相似对角化;
2) 阶矩阵 可相似对角化的充要条件是 有 个线性无关的特征向量;
3) 阶矩阵 若有 个不同的特征值，则 可相似对角化;
4) 阶矩阵 可相似对角化的充要条件是属于每个重特征值的线性无关特征向量的个数等于其重数;
将矩阵相似对角化的方法：
1)相似对角化：求出 阶矩阵 的全部特征值 和 个线性无关的特征向量 ，令 ， (对角阵)，则 ;
2)若 为 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 ，使 (只要将上面的 正交单位化即可得 )
相似矩阵的定义和性质：
1)相似矩阵的定义：存在可逆阵 ，使 ;
2)若 与 相似，则 ， 相似，其中 是任意多项式;
3)实对称矩阵相似的充要条件是 ，即有相同的特征值及重数。
典型例题分析：
例1. 矩阵 与 相似的充分必要条件为( )
(2013年考研真题数学(一)第6题)
(A) (B) 为任意常数 (C) (D) 为任意常数
解析：根据对称矩阵相似的充要条件(特征值相同)可得， 的特征值为2，b，0，于是 ，而 ，此时 的特征值为2，b，0，b可任意取值，故正确选项是(B)
例2. 证明 阶矩阵 与 相似。
(2014年考研真题数学(一)第21题)
证明：令 ， ，由 得 的特征值为 ，由 得 的特征值为 。因为 ，所以 可对角化;对 ，因为 ，所以 可对角化，因为 特征值相同且都可对角化，所以 。
注：1)若 ，则 有 个线性无关的解，即有 个属于λ的线性无关的特征向量。事实上，容易计算得 的属于λ=0的 线性无关特征向量是(1,0,0,…,0)，(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1,0)。
2)若 ，则 有 个线性无关的解，所以属于特征值 的特征向量有 个线性无关的，属于非零特征值的特征向量有1个(由 可知，非零特征值为 )，故 有 个线性无关的特征向量，因此 可以对角化。
以上是老师对考研数学线性代数中的特征值和特征向量这部分内容典型题型及解题方法的进一步分析，向大家介绍了判断或证明矩阵可对角化的不同方法、将矩阵相似对角化的不同方法以及相似矩阵的一些性质，在以后的时间里，老师还会陆续向大家介绍线性代数其它部分的典型考题和解题方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩，成功实现自己的人生梦想。
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