2016考研数学线代重点：二次型典型题型分析
2016年考研复习已经进入了冲刺复习阶段，太奇考研老师提醒大家，复习固然是考研中很重要的一环，但是考研信息的关注也十分的重要，在我们专注于考研复习的同时千万不要忽略掉考研相关信息资料的发布。二次型典型题型：
1)化二次型为标准型;
2)判别或证明二次型的正定性;
3)判别或证明矩阵的合同性;
二次型典型题型的解题方法：
1)用正交变换法、配方法化二次型为标准型(即：将实对称矩阵合同对角化);
2)用初等变换法化二次型为标准型(注：若 ，则 );
3)根据 元实二次型 正定 正惯性指数 存在可逆阵 ，使 特征值全大于0为正 顺序主子式全大于0 合同于某个正定矩阵 合同于单位阵;
4)利用正定性质：若二次型 正定，则 ， 都正定
5)根据合同矩阵判定定理： 阶实对称阵 合同 存在可逆阵 ，使 秩和正惯性指数相等 秩和符号差分别相等 正负惯性指数分别相等.
典型例题分析：
例1. 设二次型 ，记 。 (2013年考研真题数学(一)第21题)
(Ⅰ)证明二次型 对应的矩阵为 ;
(Ⅱ)若 正交且均为单位向量，证明二次型 在正交变换下的标准形为
分析：对问题(Ⅰ)，只要将 表示为矩阵形式即可，对问题(Ⅱ)，可以根据题目特点作相应正交变换，也可以采用特征值和特征向量方法证明，具体如下。
解析：(Ⅰ)令 ，则 ，故 对应的矩阵为 ;
(Ⅱ)证法1：令 为方程 的一个单位向量，则 为正交矩阵，作正交变换 ，则 ， 。(注：这个方法类似于配方法)
证法2：二次型 对应矩阵 ，∵ 正交且均为单位向量，∴ ，∴ ，故 是 的特征向量，对应特征值是2，同理，由 ，知 是 的特征向量，对应特征值是1，又 ，∴ ，0是 的特征值，故 的特征值为2,1,0，因此 在正交变换下的标准形为
例2. 设二次型 的负惯性指数是1，则 的取值范围_________. (2014年考研真题数学(一)第13题)
分析：负惯性指数为1，说明恰有一个特征值为负，另外两个特征值非负。
解析:二次型的矩阵 ，因为 负惯性指数为1，所以恰有一个特征值为负，不妨设 则
，(1)若 ，则 此时符合题意，而 ， 即-2
,则 (因为 )，此时 ，当 时， ， ， ， 符合题意;当 =-2时， ， ，
，符合题意，综上， 的取值范围是 。
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